Resolva os problemas de valor inicial:
t y^prime+2 y=t^2-t+1 ; y(1)=0

Passo 1

A equação dada é uma ODE linear de primeira ordem com condição inicial: temos t,y' + 2y = t^2 - t + 1 e y(1)=0. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão, ou seja, dividimos tudo por t (assumindo tneq0):
y' + 2t,y = t - 1 + 1t
Isso mostra claramente o coeficiente de y como 2/t, o que nos permite achar o fator integrante.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t) assim:
mu(t) = expl(integral 2t ,dtr) = exp(2ln|t|) = t^2
(Escolhemos a constante de integração zero pois qualquer múltiplo funciona.)

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t^2 e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
t^2y' + 2t,y = (t^2y)'
Então
(t^2y)' = t^2l(t - 1 + 1tr) = t^3 - t^2 + t

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
t^2y = integral (t^3 - t^2 + t),dt = t^44 - t^33 + t^22 + C
Logo
$$ y = \frac{1}{t2}\Bigl(\frac{t4}{4} - \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + C\Bigr)
= \frac{t^2}{4} - \frac{t}{3} + \frac12 + C\,t^{-2}.  $$

Passo 6

Para determinar C, usamos y(1)=0:
0 = 1^24 - 13 + 12 + C = 14 - 13 + 12 + C
Como 14+12=34 e 34-13=512, vem 512+C=0 e então C=-512.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{t2}{4}-\frac{t}{3}+\frac12-\frac{5}{12,t2}

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