Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
A equação dada é uma ODE linear de primeira ordem com condição inicial: temos
e
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro colocamos em forma padrão, ou seja, dividimos tudo por
(assumindo
):
Isso mostra claramente o coeficiente de
Passo 3
Calculamos o fator integrante
assim:
(Escolhemos a constante de integração zero pois qualquer múltiplo funciona.)
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
Então
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Logo
$$ y = \frac{1}{t2}\Bigl(\frac{t4}{4} - \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + C\Bigr)
= \frac{t^2}{4} - \frac{t}{3} + \frac12 + C\,t^{-2}. $$
Passo 6
Para determinar
, usamos
:
Como
Resposta
\displaystyle y(t)=\frac{t2}{4}-\frac{t}{3}+\frac12-\frac{5}{12,t2}