Considere a função periódica de período T dada para -T / 2<t< T / 2 por
f(t)=lc t, & |t| <= d / 2 0, & d / 2<|t|<T / 2
onde 0<d <= T. Calcule sua representação em série de Fourier. Estude o caso particular d=T. Dica: integral u cos (u) d u=cos (u)+u sen(u)+C e integral u sen(u) d u= sen(u)-u cos (u)+C

Passo 1

O enunciado apresenta a função periódica de período
com , usando integração por partes (dica).

Passo 2

Note que f(t) é uma função ímpar, pois f(-t)=-f(t). Numa série de Fourier isso implica imediatamente
a0=0, an=0para todo n,
e só aparecem termos em sin(nomega0 t). Assim
f(t)=sumn=1^inftybnsinl(nomega0 tr)
Para calcular bn, usamos a paridade ímpar de f, o que dá
bn=2Tintegral-T/2^T/2f(t)sin(nomega0 t),dt =4Tintegral0^d/2tsin(nomega0 t),dt

Passo 3

Agora calculamos
I=integral0^d/2tsin(nomega0 t),dt
Usando integração por partes com u=t e dv=sin(nomega0 t),dt, temos
du=dt, v=-cos(nomega0 t)nomega0,
logo
I =-tcos(nomega0 t)nomega0|0^d/2 +1nomega0integral0^d/2cos(nomega0 t),dt
A segunda integral é
integral0^d/2cos(nomega0 t),dt =sin(nomega0 t)nomega0|0^d/2 =sinl(nomega0 d/2r)nomega0
Portanto
I =-(d/2)cosl(nomega0 d/2r)nomega0 +sinl(nomega0 d/2r)(nomega0)^2

Passo 4

Substituindo em bn=4TI e lembrando omega0=2pi/T, obtemos
bn =4Tl[ -d/2nomega0cosl(nomega0 d/2r) +1(nomega0)^2sinl(nomega0 d/2r) r]
Fazendo as contas ( omega0=2pi/T) isso se simplifica para
bn =Tpi^2n^2sin!l(npi dTr) -dpi ncos!l(npi dTr)

Passo 5

Logo a série de Fourier geral é
boxed f(t) =sumn=1^infty l[ Tpi^2n^2sin!l(npi dTr) -dpi ncos!l(npi dTr) r] sin!l(2pi nTtr)

Passo 6

Caso particular d=T. Então sin(npi d/T)=sin(npi)=0 e cos(npi)=(-1)^n. Assim
bn =-Tpi n(-1)^n =Tpi n(-1)^n+1
E a série torna-se o clássico sawtooth:
boxed f(t)=sumn=1^inftyTpi n(-1)^n+1 sin!l(2pi nTtr)

Resposta

Para 0<d<= T,
f(t) =sumn=1^infty l[ Tpi^2n^2sin!l(npi dTr) -dpi ncos!l(npi dTr) r] sin!l(2pi nTtr)
Para d=T,
f(t) =sumn=1^inftyTpi n(-1)^n+1 sin!l(2pi nTtr)

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