Calcule a soma da série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(4 k-1)(4 k+3)}.
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(4 k-1)(4 k+3)}.
Passo 1
O enunciado pede a soma da série infinita
O conteúdo principal aqui é decompor em frações parciais e usar o caráter telescópico da soma para chegar ao valor da série.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando em cruz obtemos
Comparando coeficientes de
e termos constantes:
4 ,
3 -
,
.
Logo
4
3
Logo
Passo 3
Definimos a soma parcial até
:
Escrevendo os primeiros termos, fica
Tudo telescopa, sobrando
Passo 4
Agora tomamos o limite
. Como
, temos