Calcule a soma da série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(4 k-1)(4 k+3)}.

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(4k-1)(4k+3)}.
O conteúdo principal aqui é decompor em frações parciais e usar o caráter telescópico da soma para chegar ao valor da série.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{A}{4k-1} + \frac{B}{4k+3}.
Multiplicando em cruz obtemos
A(4k+3) + B(4k-1) = 1.
Comparando coeficientes de k e termos constantes:
4 A+B =0 \implies B=-A,
3 A- B =1 \implies 3A -(-A)=1 \implies 4A=1 \implies A=\tfrac14, B=-\tfrac14.
Logo
\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k+3}\Bigr).

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
S_N = \sum_{k=1}^{N}\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k+3}\Bigr).
Escrevendo os primeiros termos, fica
S_N = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{7} + \frac{1}{7}-\frac{1}{11} + \cdots + \frac{1}{4N-1}-\frac{1}{4N+3}\Bigr).
Tudo telescopa, sobrando
S_N = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{3} - \frac{1}{4N+3}\Bigr).

Passo 4

Agora tomamos o limite N\to+\infty. Como \tfrac{1}{4N+3}\to0, temos
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \lim_{N\to\infty}S_N = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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