Questão 1. Utilize o método de séries de potências para resolver a equação diferencial (encontre duas soluçöes linearmente independentes em torno do ponto ordinário
)
Passo 1
O enunciado pede para resolver por séries de potências em torno de
a equação
O conteúdo é o método de séries de potências: assumir
encontrar recorrência para os coeficientes
e, a partir dela, duas soluções linearmente independentes (uma par e outra ímpar).
Passo 2
Assumimos
Também
Substituindo em
e alinhando potências
, obtemos
Passo 3
Como a soma deve anular para todo
, temos a recorrência
Passo 4
Para obter a solução par, tomamos
e
. Então
e todos os
para
. Logo surge a solução polinomial
Passo 5
Para a solução ímpar, metemos
e
. Da recorrência,
e assim por diante, gerando série infinita. Portanto
Passo 6
Concluímos que as duas soluções linearmente independentes em torno de
são:
Resposta
As duas soluções linearmente independentes são