Questão 1. Utilize o método de séries de potências para resolver a equação diferencial (encontre duas soluçöes linearmente independentes em torno do ponto ordinário x_{0}=0 )
y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por séries de potências em torno de x_{0}=0 a equação
y''-2x\,y'+4y=0.
O conteúdo é o método de séries de potências: assumir
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n},
encontrar recorrência para os coeficientes a_{n} e, a partir dela, duas soluções linearmente independentes (uma par e outra ímpar).

Passo 2

Assumimos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}, \quad y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^{n}, \quad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}.
Também
2x\,y' = 2\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^{\,n+1} =2\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n}.
Substituindo em y''-2x\,y'+4y=0 e alinhando potências x^{n}, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl[(n+2)(n+1)a_{n+2} -2n\,a_{n}+4a_{n}\Bigr]x^{n}=0.

Passo 3

Como a soma deve anular para todo n, temos a recorrência
(n+2)(n+1)\,a_{n+2}=(2n-4)\,a_{n} \;\;\Longrightarrow\;\; a_{n+2} =\frac{2(n-2)}{(n+2)(n+1)}\,a_{n}.

Passo 4

Para obter a solução par, tomamos a_{1}=0 e a_{0}=1. Então
a_{2}=\frac{2(0-2)}{2\cdot1}a_{0}=-2, \quad a_{4}=\frac{2(2-2)}{4\cdot3}a_{2}=0,
e todos os a_{2k}=0 para k\ge2. Logo surge a solução polinomial
y_{1}(x) =1-2x^{2}.

Passo 5

Para a solução ímpar, metemos a_{0}=0 e a_{1}=1. Da recorrência,
a_{3}=\frac{2(1-2)}{3\cdot2}a_{1}=-\frac13, \quad a_{5}=\frac{2(3-2)}{5\cdot4}a_{3}=-\frac1{30}, \quad a_{7}=\frac{2(5-2)}{7\cdot6}a_{5}=-\frac1{210},
e assim por diante, gerando série infinita. Portanto
y_{2}(x) =x-\frac13x^{3}-\frac1{30}x^{5}-\frac1{210}x^{7}-\cdots.

Passo 6

Concluímos que as duas soluções linearmente independentes em torno de 0 são:
y_{1}(x)=1-2x^{2}, \quad y_{2}(x)=x-\frac13x^{3}-\frac1{30}x^{5}-\frac1{210}x^{7}-\cdots.

Resposta

As duas soluções linearmente independentes são
y_{1}(x)=1-2x^{2}, \qquad y_{2}(x)=x-\frac13x^{3}-\frac1{30}x^{5}-\frac1{210}x^{7}-\cdots.

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