Determine o centro e as equações dos eixos de
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádrupla
e pede o seu centro e as equações dos eixos principais. Trata-se de classificar a quádricas e encontrar uma translação de coordenadas que elimine o termo linear em
, permitindo escrever a forma canônica.
Passo 2
Vamos completar o quadrado no termo que envolve
. Observe:
Agora
Logo,
Substituindo em
, vem
Passo 3
Isolando na forma canônica, defina as novas coordenadas
A equação torna-se
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
que é um elipsoide centrado em
. Voltando a
, o centro da superfície é
Passo 4
Não há termos mistos em
e
, nem em
e
, nem em
e
. Portanto os eixos principais coincidem com os eixos coordenados obrigatoriamente transladados ao centro. Em coordenadas originais
, os três eixos são as retas que passam por
e seguem as direções dos vetores próprios
,
e
. Suas equações implícitas são:
Eixo
principal (direção
):
Eixo
principal (direção
):
Eixo
principal (direção
):
Resposta
Centro:
.
Equações dos eixos principais: -eixo:
.
-eixo:
.
-eixo:
.
Equações dos eixos principais: