Determine o centro e as equações dos eixos de x^{\wedge} 2+12 y^{\wedge} 2+15 z^{\wedge} 2-3 z=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádrupla
x^2 + 12y^2 + 15z^2 - 3z = 0
e pede o seu centro e as equações dos eixos principais. Trata-se de classificar a quádricas e encontrar uma translação de coordenadas que elimine o termo linear em z, permitindo escrever a forma canônica.

Passo 2

Vamos completar o quadrado no termo que envolve z. Observe:
15z^2 - 3z =15\Bigl(z^2 - \tfrac{3}{15}z\Bigr) =15\Bigl(z^2 - \tfrac{1}{5}z\Bigr).
Agora
z^2 - \tfrac{1}{5}z =\Bigl(z - \tfrac{1}{10}\Bigr)^2 - \Bigl(\tfrac{1}{10}\Bigr)^2 =\Bigl(z - \tfrac{1}{10}\Bigr)^2 - \tfrac{1}{100}.
Logo,
15z^2 - 3z =15\Bigl(z - \tfrac{1}{10}\Bigr)^2 - 15\cdot\tfrac{1}{100} =15\Bigl(z - \tfrac{1}{10}\Bigr)^2 - \tfrac{15}{100}.
Substituindo em x^2+12y^2+15z^2-3z=0, vem
x^2 + 12y^2 +15\Bigl(z - \tfrac{1}{10}\Bigr)^2 - \tfrac{15}{100}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 12y^2 +15\Bigl(z - \tfrac{1}{10}\Bigr)^2 = \tfrac{15}{100} = \tfrac{3}{20}.

Passo 3

Isolando na forma canônica, defina as novas coordenadas
X = x,\quad Y = y,\quad Z = z - \tfrac{1}{10}.
A equação torna-se
X^2 +12Y^2 +15Z^2 = \tfrac{3}{20}.
Dividindo ambos os lados por \tfrac{3}{20}, obtemos
\frac{X^2}{\tfrac{3}{20}} + \frac{12Y^2}{\tfrac{3}{20}} + \frac{15Z^2}{\tfrac{3}{20}} =1,
que é um elipsoide centrado em (X,Y,Z)=(0,0,0). Voltando a (x,y,z), o centro da superfície é
(x_0,y_0,z_0) = \bigl(0,0,\tfrac{1}{10}\bigr).

Passo 4

Não há termos mistos em x e y, nem em x e z, nem em y e z. Portanto os eixos principais coincidem com os eixos coordenados obrigatoriamente transladados ao centro. Em coordenadas originais (x,y,z), os três eixos são as retas que passam por (0,0,\tfrac{1}{10}) e seguem as direções dos vetores próprios (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Suas equações implícitas são:
Eixo X principal (direção (1,0,0)):
y=0,\quad z=\tfrac{1}{10}.
Eixo Y principal (direção (0,1,0)):
x=0,\quad z=\tfrac{1}{10}.
Eixo Z principal (direção (0,0,1)):
x=0,\quad y=0.

Resposta

Centro: \bigl(0,0,\tfrac{1}{10}\bigr).
Equações dos eixos principais: X-eixo: y=0,\;z=\tfrac{1}{10}. Y-eixo: x=0,\;z=\tfrac{1}{10}. Z-eixo: x=0,\;y=0.

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