Monte integrais triplas para o volume da esfera \rho=2 em coordenadas
esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para montar a integral tripla que representa o volume de uma esfera de raio 2 usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas adotamos as variáveis (\rho,\varphi,\theta) tais que
x = \rho\,\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\,\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\,\cos\varphi.

Passo 3

O elemento de volume em esféricas é dado por
dV = \rho^{2}\,\sin\varphi \;d\rho\;d\varphi\;d\theta.

Passo 4

Para cobrir toda a esfera de raio 2, os limites são
0 \le \rho \le 2,\quad 0 \le \varphi \le \pi,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 5

Assim, uma forma usual de escrever a integral tripla do volume é
V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=0}^{\pi} \int_{\rho=0}^{2} \rho^{2}\,\sin\varphi \;d\rho\;d\varphi\;d\theta.

Resposta

V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} \rho^{2}\,\sin\varphi \;d\rho\;d\varphi\;d\theta.

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