Para quais valores de
a série
converge?
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de
a série
converge. Esse problema está relacionado ao estudo de sequências e séries, mais especificamente às séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e quais são as condições para que ela converja.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
-
é o primeiro termo da série, -
é a razão da série, ou seja, o fator pelo qual multiplicamos para passar de um termo para o próximo.
No nosso caso, a série começa em
e o termo geral é
, o que equivale a:
Isso confirma que estamos lidando com uma série geométrica.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre convergência de séries geométricas. Uma série geométrica converge se, ao somarmos seus termos infinitamente, o valor da soma se aproxima de um número finito. A condição para que isso aconteça é relacionada ao valor absoluto da razão
.
A regra é:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge (não converge).
Essa condição acontece porque, quando
, os termos da série vão se tornando cada vez menores, fazendo com que a soma não cresça indefinidamente.
Resposta
Portanto, a série
converge para todos os valores de
que satisfazem