Para quais valores de r a série
sumn=1^infty a r^n-1, a neq 0
converge?

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de r a série
sumn=1^infty a r^n-1, a neq 0
converge. Esse problema está relacionado ao estudo de sequências e séries, mais especificamente às séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e quais são as condições para que ela converja.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
onde:
  • a é o primeiro termo da série,
  • r é a razão da série, ou seja, o fator pelo qual multiplicamos para passar de um termo para o próximo.
No nosso caso, a série começa em n=1 e o termo geral é a r^n-1 , o que equivale a:
sumn=1^infty a r^n-1 = a + a r + a r^2 + a r^3 + dots
Isso confirma que estamos lidando com uma série geométrica.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre convergência de séries geométricas. Uma série geométrica converge se, ao somarmos seus termos infinitamente, o valor da soma se aproxima de um número finito. A condição para que isso aconteça é relacionada ao valor absoluto da razão r .
A regra é:
  • Se |r| < 1 , a série converge.
  • Se |r| >= 1 , a série diverge (não converge).
Essa condição acontece porque, quando |r| < 1 , os termos da série vão se tornando cada vez menores, fazendo com que a soma não cresça indefinidamente.

Resposta

Portanto, a série
sumn=1^infty a r^n-1
converge para todos os valores de r que satisfazem
|r| < 1

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