A função
dada por
é contínua e não tem valor máximo e valor mínimo. Explique porque esta função não contradiz o Teorema de Weierstrass.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá dizendo. A gente tem a função
definida por
. Essa função é contínua nesse intervalo aberto, mas ela não tem valor máximo nem mínimo. A pergunta é: por que isso não entra em contradição com o Teorema de Weierstrass? Para resolver, vamos precisar entender o que diz o Teorema de Weierstrass e os tipos de intervalos em que ele se aplica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Weierstrass. Esse teorema afirma que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado
atinge, de fato, um valor máximo e um valor mínimo nesse intervalo. Ou seja, existe um ponto
onde
é o maior valor da função e um ponto
onde
é o menor valor.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
no intervalo
. Esse intervalo é aberto, o que significa que ele não inclui os pontos
e
. A tangente de
tende a
quando
se aproxima de
e a
quando
se aproxima de
. Portanto, a função não tem valores máximos ou mínimos nesse intervalo aberto.
Passo 4
O ponto chave aqui é que o Teorema de Weierstrass exige que o intervalo seja fechado e limitado. No nosso caso, o intervalo é aberto, o que significa que os extremos
e
não estão incluídos. Como resultado, a função
pode crescer sem limites à medida que se aproxima desses pontos, o que impede que ela atinja um valor máximo ou mínimo dentro do intervalo aberto.
Passo 5
Então, resumindo, a função
não contradiz o Teorema de Weierstrass porque o teorema só se aplica a intervalos fechados e limitados. Como estamos trabalhando com um intervalo aberto onde a função pode crescer sem limites, a ausência de valores máximos e mínimos está de acordo com o que o teorema prevê.
Resposta
A função
não contradiz o Teorema de Weierstrass porque este teorema requer que a função seja contínua em um intervalo fechado e limitado. Como a função está definida em um intervalo aberto
, ela não precisa necessariamente atingir valores máximos ou mínimos, estando assim de acordo com o teorema.