A função f:] -pi2, pi2[ R dada por f(x)=tg(x) é contínua e não tem valor máximo e valor mínimo. Explique porque esta função não contradiz o Teorema de Weierstrass.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá dizendo. A gente tem a função f: ( -pi2, pi2 ) R definida por f(x) = tan(x) . Essa função é contínua nesse intervalo aberto, mas ela não tem valor máximo nem mínimo. A pergunta é: por que isso não entra em contradição com o Teorema de Weierstrass? Para resolver, vamos precisar entender o que diz o Teorema de Weierstrass e os tipos de intervalos em que ele se aplica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Weierstrass. Esse teorema afirma que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado [a, b] atinge, de fato, um valor máximo e um valor mínimo nesse intervalo. Ou seja, existe um ponto xmáxá onde f(xmáx)á é o maior valor da função e um ponto xmíní onde f(xmín)í é o menor valor.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função f(x) = tan(x) no intervalo ( -pi2, pi2 ) . Esse intervalo é aberto, o que significa que ele não inclui os pontos -pi2 e pi2 . A tangente de x tende a -infty quando x se aproxima de -pi2 e a +infty quando x se aproxima de pi2 . Portanto, a função não tem valores máximos ou mínimos nesse intervalo aberto.

Passo 4

O ponto chave aqui é que o Teorema de Weierstrass exige que o intervalo seja fechado e limitado. No nosso caso, o intervalo é aberto, o que significa que os extremos -pi2 e pi2 não estão incluídos. Como resultado, a função tan(x) pode crescer sem limites à medida que se aproxima desses pontos, o que impede que ela atinja um valor máximo ou mínimo dentro do intervalo aberto.

Passo 5

Então, resumindo, a função f(x) = tan(x) não contradiz o Teorema de Weierstrass porque o teorema só se aplica a intervalos fechados e limitados. Como estamos trabalhando com um intervalo aberto onde a função pode crescer sem limites, a ausência de valores máximos e mínimos está de acordo com o que o teorema prevê.

Resposta

A função f(x) = tan(x) não contradiz o Teorema de Weierstrass porque este teorema requer que a função seja contínua em um intervalo fechado e limitado. Como a função está definida em um intervalo aberto ( -pi2, pi2 ) , ela não precisa necessariamente atingir valores máximos ou mínimos, estando assim de acordo com o teorema.

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