5 Equação da Onda em duas dimensões- Renata e Wesley:
Para uma membrana vibrante com deslocamento
:
Condiçōes de Contorno:
Condiçōes Iniciais:
Utilizando o método de separay̧ão de variáveis encontre a soluagion.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Equação da Onda em duas dimensões. O problema fala sobre como uma membrana vibrante se comporta ao longo do tempo e do espaço. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais parciais complexas dividindo-as em partes mais simples. Vamos precisar entender a equação da onda, as condições de contorno e as condições iniciais para chegar à solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da onda dada:
Aqui,
representa o deslocamento da membrana no ponto
no tempo
, e
é a velocidade da onda na membrana.
Passo 3
O método de separação de variáveis assume que a solução
pode ser escrita como um produto de funções, cada uma dependendo de uma única variável:
Vamos substituir essa forma na equação da onda.
Passo 4
Substituindo
na equação da onda:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 5
Observe que o lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito depende de
e
. Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os
,
, e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, digamos
.
Então, temos duas equações:
e
Passo 6
Vamos separar as variáveis espaciais
e
. Assumimos que:
onde
e
são constantes de separação, e
.
Passo 7
Agora, temos três equações diferenciais ordinárias:
- Temporal:
- Espacial em
:
- Espacial em
:
Passo 8
Vamos resolver cada equação separadamente começando pelas espaciais. As soluções gerais são:
Para
:
Para
:
Passo 9
Aplicamos as condições de contorno, que dizem que
nas bordas da membrana:
Isso implica que as soluções em
e
devem ser senos puros para satisfazer essas condições (os termos cossenos não contribuem, pois não satisfazem
nas bordas).
Então, ajustamos as soluções para:
onde
e
são inteiros positivos.
Passo 10
Agora, resolvemos a equação temporal:
A solução geral dessa equação é:
onde
.
Passo 11
Combinando todas as soluções, a solução geral para
é uma soma de modos de vibração:
Resposta
A solução da equação da onda para a membrana vibrante, utilizando o método de separação de variáveis, é dada por:
onde
e
,
são constantes determinadas pelas condições iniciais.