5 Equação da Onda em duas dimensões- Renata e Wesley:
Para uma membrana vibrante com deslocamento u(x, y, t) :
partial^2 upartial t^2=c^2(partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2)
Condiçōes de Contorno:
u(0, y, t)=u(a, y, t)=u(x, 0, t)=u(x, b, t)=0
Condiçōes Iniciais:
u(x, y, 0) & =phi(x, y) partial upartial t(x, y, 0) & =psi(x, y)
Utilizando o método de separay̧ão de variáveis encontre a soluagion.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Equação da Onda em duas dimensões. O problema fala sobre como uma membrana vibrante se comporta ao longo do tempo e do espaço. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais parciais complexas dividindo-as em partes mais simples. Vamos precisar entender a equação da onda, as condições de contorno e as condições iniciais para chegar à solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da onda dada:
partial^2 upartial t^2 = c^2(partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2)
Aqui, u(x, y, t) representa o deslocamento da membrana no ponto (x, y) no tempo t , e c é a velocidade da onda na membrana.

Passo 3

O método de separação de variáveis assume que a solução u(x, y, t) pode ser escrita como um produto de funções, cada uma dependendo de uma única variável:
u(x, y, t) = X(x) cdot Y(y) cdot T(t)
Vamos substituir essa forma na equação da onda.

Passo 4

Substituindo u(x, y, t) = X(x) Y(y) T(t) na equação da onda:
X Y d^2 Tdt^2 = c^2( Y T d^2 Xdx^2 + X T d^2 Ydy^2 )
Podemos dividir ambos os lados por X Y T :
1T d^2 Tdt^2 = c^2 ( 1X d^2 Xdx^2 + 1Y d^2 Ydy^2 )

Passo 5

Observe que o lado esquerdo depende apenas de t e o lado direito depende de x e y . Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os x , y , e t , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, digamos -lambda .
Então, temos duas equações:
1T d^2 Tdt^2 = -lambda
e
1X d^2 Xdx^2 + 1Y d^2 Ydy^2 = -lambda

Passo 6

Vamos separar as variáveis espaciais x e y . Assumimos que:
1X d^2 Xdx^2 = -k^2
1Y d^2 Ydy^2 = -m^2
onde k e m são constantes de separação, e lambda = k^2 + m^2 .

Passo 7

Agora, temos três equações diferenciais ordinárias:
  1. Temporal:
d^2 Tdt^2 + (k^2 + m^2) c^2 T = 0
  1. Espacial em x :
d^2 Xdx^2 + k^2 X = 0
  1. Espacial em y :
d^2 Ydy^2 + m^2 Y = 0

Passo 8

Vamos resolver cada equação separadamente começando pelas espaciais. As soluções gerais são:
Para X(x) :
X(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
Para Y(y) :
Y(y) = C sin(my) + D cos(my)

Passo 9

Aplicamos as condições de contorno, que dizem que u = 0 nas bordas da membrana:
u(0, y, t) = u(a, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, b, t) = 0
Isso implica que as soluções em X e Y devem ser senos puros para satisfazer essas condições (os termos cossenos não contribuem, pois não satisfazem u = 0 nas bordas).
Então, ajustamos as soluções para:
X(x) = A sin(npi xa)
Y(y) = C sin(mpi yb)
onde n e m são inteiros positivos.

Passo 10

Agora, resolvemos a equação temporal:
d^2 Tdt^2 + ((npi ca)^2 + (mpi cb)^2) T = 0
A solução geral dessa equação é:
T(t) = E cos(omega t) + F sin(omega t)
onde omega = raiz(npi ca)^2 + (mpi cb)^2 .

Passo 11

Combinando todas as soluções, a solução geral para u(x, y, t) é uma soma de modos de vibração:
u(x, y, t) = sumn=1^infty summ=1^infty [ Anm cos(omeganm t) + Bnm sin(omeganm t) ] sin(npi xa) sin(mpi yb)

Resposta

A solução da equação da onda para a membrana vibrante, utilizando o método de separação de variáveis, é dada por:
u(x, y, t) = sumn=1^infty summ=1^infty [ Anm cos(omeganm t) + Bnm sin(omeganm t) ] sin(npi xa) sin(mpi yb)
onde omeganm = pi c raiz(na)^2 + (mb)^2 e Anm , Bnm são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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