Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
o eixo
; em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o volume de um sólido que é gerado quando rotacionamos a região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas:
- A curva
é uma parábola que abre para a direita. - A reta
é uma linha horizontal que corta a parábola.
Vamos determinar os pontos de interseção para saber os limites da nossa integração. Igualando
:
Então, a região que vamos rotacionar vai de
até
.
Passo 3
Como vamos rotacionar em torno do eixo
, é mais fácil expressar
em termos de
. Da equação
, temos:
Isso nos permite reescrever a função para facilitar a integração.
Passo 4
O método dos discos nos diz que o volume
é dado por:
Onde
é o raio do disco em cada ponto
, e
e
são os limites de integração.
Passo 5
Neste caso, o raio
é simplesmente a função
, já que estamos rotacionando em torno do eixo
. Portanto:
E nossos limites de integração são de
a
.
Passo 6
Agora, vamos substituir na fórmula do volume:
Vamos integrar
em relação a
.
Passo 7
Calculando a integral:
Aplicando os limites de 0 a 3:
Passo 8
Agora, multiplicamos pelo
para obter o volume:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
é: