Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=raizx, y=3 o eixo y; em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o volume de um sólido que é gerado quando rotacionamos a região delimitada pelas curvas y = raizx e y = 3 em torno do eixo y . Para isso, vamos usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas:
  • A curva y = raizx é uma parábola que abre para a direita.
  • A reta y = 3 é uma linha horizontal que corta a parábola.
Vamos determinar os pontos de interseção para saber os limites da nossa integração. Igualando raizx = 3 :
raizx = 3 implies x = 9
Então, a região que vamos rotacionar vai de y = 0 até y = 3 .

Passo 3

Como vamos rotacionar em torno do eixo y , é mais fácil expressar x em termos de y . Da equação y = raizx , temos:
x = y^2
Isso nos permite reescrever a função para facilitar a integração.

Passo 4

O método dos discos nos diz que o volume V é dado por:
V = pi integrala^b [R(y)]^2 , dy
Onde R(y) é o raio do disco em cada ponto y , e a e b são os limites de integração.

Passo 5

Neste caso, o raio R(y) é simplesmente a função x = y^2 , já que estamos rotacionando em torno do eixo y . Portanto:
R(y) = y^2
E nossos limites de integração são de y = 0 a y = 3 .

Passo 6

Agora, vamos substituir na fórmula do volume:
V = pi integral0^3 (y^2)^2 , dy = pi integral0^3 y^4 , dy
Vamos integrar y^4 em relação a y .

Passo 7

Calculando a integral:
integral y^4 , dy = y^55 + C
Aplicando os limites de 0 a 3:
[ y^55 ]0^3 = 3^55 - 0^55 = 2435

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo pi para obter o volume:
V = pi times 2435 = 243pi5

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y = raizx e y = 3 em torno do eixo y é:
V = 243pi5 , unidades cúbicas ú

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