Determine
\int_{0}^{5} f(x, y) d x e \int_{0}^{1} f(x, y) d y.
f(x, y)=y+x e^{y}

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=y + x e^y
e pede duas integrais simples:
integral0^5f(x,y),dx tratando y como constante, e
integral0^1f(x,y),dy tratando x como constante. Vamos usar as regras básicas de integração term-a-termo.

Passo 2

Calculemos
integral0^5f(x,y),dx =integral0^5l(y + x e^yr),dx =integral0^5y,dx ;+;integral0^5x e^y,dx
Como y e e^y são constantes em relação a x,
integral0^5y,dx =yl[xr]0^5 =5y, integral0^5x e^y,dx =e^yl[tfracx^22r]0^5 =e^y,252
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integral0^5f(x,y),dx =5y + 252,e^y

Passo 3

Agora
integral0^1f(x,y),dy =integral0^1l(y + x e^yr),dy =integral0^1y,dy ;+;xintegral0^1e^y,dy
Usando integrais básicas,
integral0^1y,dy =l[tfracy^22r]0^1 =12, integral0^1e^y,dy =l[e^yr]0^1 =e - 1
Portanto
integral0^1f(x,y),dy =12 + x,(e-1)

Resposta

integral0^5f(x,y),dx = 5y + 252,e^y, integral0^1f(x,y),dy = 12 + x,(e-1)

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