Considere a equação d yd x=P(x)+Q(x) y+R(x) y^n. De acordo com os conteúdos estudados, é possível resolvê-la para (a) n=0 ? (b) n=1 ? (c) n=2 ? Se sim, diga como. Se não, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial dydx = P(x) + Q(x)y + R(x)y^n. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais de primeira ordem e métodos para resolvê-las dependendo do valor de n. Vamos ver para quais valores de n conseguimos resolver essa equação e como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar quando n = 0. Substituindo na equação, temos:
dydx = P(x) + Q(x)y + R(x)y^0
Como y^0 = 1, a equação fica:
dydx = P(x) + Q(x)y + R(x)
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 3

Agora, vamos para n = 1. Substituindo, a equação fica:
dydx = P(x) + Q(x)y + R(x)y^1
Simplificando, temos:
dydx = P(x) + (Q(x) + R(x))y
Isso também é uma equação diferencial linear de primeira ordem, similar ao caso quando n = 0, e pode ser resolvida com o método do fator integrante.

Passo 4

Finalmente, vamos ver para n = 2. A equação fica:
dydx = P(x) + Q(x)y + R(x)y^2
Essa é uma equação diferencial não linear devido ao termo y^2. Equações desse tipo geralmente não têm soluções simples e exigem métodos mais avançados, que podem não estar cobertos nos conteúdos estudados.

Resposta

(a) Sim, para n = 0, a equação é linear e pode ser resolvida usando fator integrante.
(b) Sim, para n = 1, a equação também é linear e se resolve pelo método do fator integrante.
(c) Não, para n = 2, a equação se torna não linear e, geralmente, não pode ser resolvida pelos métodos estudados.

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