Calcule a soma das séries abaixo.
(l) sumn=1^infty ln (n^2+12 n^2+1);
2
Expresse o número racional como uma razão de inteiros:
(a) 0, 412=0,412412412 cdots;

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  1. Calcular a soma da série
sumn=1^infty ln!gl(n^2+12n^2+1gr)
  1. Escrever o decimal periódico
0,412=0,412412412cdots
como uma razão de inteiros.

Passo 2

Para ver se a série converge, note que, para n grande,
n^2+12n^2+1 sim n^22n^2 = 12
Logo
ln!gl(n^2+12n^2+1gr);longrightarrow;ln!l(tfrac12r)=-ln2neq0
Como os termos não tendem a zero, a série diverge. Além disso, cada termo é aproximadamente -ln2, então a soma parcial vai diminuindo sem limite, isto é, diverge para -infty.

Passo 3

Seja
x = 0,412
Multiplicando por 1000 (pois o período tem 3 dígitos), obtemos
1000x = 412,412
Subtraindo a expressão para x, vem
1000x - x = 412,412 - 0,412 Longrightarrow 999x = 412 Longrightarrow x = 412999

Resposta

A série diverge para -infty.
O decimal periódico é
0,412 = 412999

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