Prove que:
(g)
9
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se
converge e
, então
converge;
(g)
9
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
(a) ( ) Se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (g) Mostrar que
- (a) Determinar se a afirmação “se
converge e , então converge” é verdadeira ou falsa, dando prova ou contra-exemplo.
Para (g) vamos usar frações parciais e soma telescópica. Para (a) basta um contra-exemplo envolvendo séries p-séries.
Passo 2
Escrevemos cada termo em frações parciais. Para
:
Multiplicando em cruzeiro e identificando coeficientes, obtemos
Escolhendo
(ou igualando coeficientes), verifica-se que
e
. Logo
Passo 3
Defina a soma parcial
Ao expandir, observa-se o cancelamento telescópico:
Fazendo
, tem-se
, logo
Passo 4
Agora a afirmação (a): “se
converge com
, então
converge”.
Contra-exemplo: tome
Contra-exemplo: tome
Sabemos que
é convergente (p-série com
). Mas
e
diverge (p-série com
).
Portanto a afirmação é falsa.
Portanto a afirmação é falsa.
Resposta
(g)
(a) F.
(a) F.