Prove que:
(g) sumn=1^+infty 1(2 n-1)(2 n+1)=12
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Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se sumn=1^+infty an converge e an >= 0, forall n, então sumn=1^+infty raizan converge;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (g) Mostrar que
sumn=1^infty 1(2n-1)(2n+1) = 12
  • (a) Determinar se a afirmação “se sum an converge e an>=0, então sumraizan converge” é verdadeira ou falsa, dando prova ou contra-exemplo.
Para (g) vamos usar frações parciais e soma telescópica. Para (a) basta um contra-exemplo envolvendo séries p-séries.

Passo 2

Escrevemos cada termo em frações parciais. Para n>=1:
1(2n-1)(2n+1) = A2n-1 + B2n+1
Multiplicando em cruzeiro e identificando coeficientes, obtemos
1 = A(2n+1) + B(2n-1)
Escolhendo n=tfrac12 (ou igualando coeficientes), verifica-se que A=tfrac12 e B=-tfrac12. Logo
1(2n-1)(2n+1) = 12l(12n-1-12n+1r)

Passo 3

Defina a soma parcial
SN = sumn=1^N1(2n-1)(2n+1) = 12sumn=1^Nl(12n-1-12n+1r)
Ao expandir, observa-se o cancelamento telescópico:
SN = 12l((1-tfrac13)+(tfrac13-tfrac15)+cdots+(tfrac12N-1-tfrac12N+1)r) = 12l(1-12N+1r)
Fazendo Ntoinfty, tem-se tfrac12N+1to0, logo
sumn=1^infty1(2n-1)(2n+1) = limNtoinftySN = 12

Passo 4

Agora a afirmação (a): “se sum an converge com an>=0, então sumraizan converge”.
Contra-exemplo: tome
an = 1n^2
Sabemos que sumn=1^infty 1n^2 é convergente (p-série com p=2>1). Mas
raizan = 1n
e sumn=1^infty 1n diverge (p-série com p=1).
Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

(g) sumn=1^infty1(2n-1)(2n+1)=tfrac12
(a) F.

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