Determine se a série dada converge ou diverge:
(c)
.
4
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se
converge e
, então
converge.
(c)
4
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes aqui:
- Parte (c): Precisamos descobrir se a série
converge ou diverge. - Parte V ou F: Devemos dizer se a afirmação “Se
converge e para todo , então converge” é verdadeira ou falsa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente testes de convergência como o Teste da Comparação e o conhecimento sobre séries p.
Passo 2
Vamos começar com a Parte (c):
.
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observe que:
Podemos decompor isso usando frações parciais:
Agora, a série fica assim:
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar. Vamos ver os primeiros termos para entender:
Como você pode ver,
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. No final, restará apenas o primeiro termo:
Como a soma tende a um valor finito, a série converge.
Passo 3
Agora, vamos para a Parte V ou F: “Se
converge e
para todo
, então
converge.”
Vamos analisar essa afirmação. Sabemos que se
converge e todos os
são positivos, então
tende a zero quando
tende ao infinito. Mas o que acontece com
?
Considere um contraexemplo: suponha que
. A série
é uma série p com
, que sabemos que converge. Mas
, e a série
é a famosa série harmônica, que diverge.
Então, encontramos um caso onde a série original converge, mas a série com a raiz diverge. Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
(c) A série
converge.
A afirmação é Falsa.