Determine se a série dada converge ou diverge:
(c) sumn=1^+infty 3n^2+n.
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Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se sumn=1^+infty an converge e an>0, forall n in N, então sumn=1^+infty raizan converge.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes aqui:
  1. Parte (c): Precisamos descobrir se a série sumn=1^+infty 3n^2+n converge ou diverge.
  2. Parte V ou F: Devemos dizer se a afirmação “Se sumn=1^+infty an converge e an > 0 para todo n in N, então sumn=1^+infty raizan converge” é verdadeira ou falsa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente testes de convergência como o Teste da Comparação e o conhecimento sobre séries p.

Passo 2

Vamos começar com a Parte (c): sumn=1^+infty 3n^2+n.
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observe que:
3n^2 + n = 3n(n + 1)
Podemos decompor isso usando frações parciais:
3n(n + 1) = 3n - 3n + 1
Agora, a série fica assim:
sumn=1^+infty ( 3n - 3n + 1 )
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar. Vamos ver os primeiros termos para entender:
( 31 - 32 ) + ( 32 - 33 ) + ( 33 - 34 ) + dots
Como você pode ver, -32 cancela com +32, -33 cancela com +33, e assim por diante. No final, restará apenas o primeiro termo:
limn to infty ( 3 - 3n + 1 ) = 3
Como a soma tende a um valor finito, a série converge.

Passo 3

Agora, vamos para a Parte V ou F: “Se sumn=1^+infty an converge e an > 0 para todo n, então sumn=1^+infty raizan converge.”
Vamos analisar essa afirmação. Sabemos que se sum an converge e todos os an são positivos, então an tende a zero quando n tende ao infinito. Mas o que acontece com raizan?
Considere um contraexemplo: suponha que an = 1n^2. A série sum 1n^2 é uma série p com p=2, que sabemos que converge. Mas raizan = 1n, e a série sum 1n é a famosa série harmônica, que diverge.
Então, encontramos um caso onde a série original converge, mas a série com a raiz diverge. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

(c) A série sumn=1^+infty 3n^2+n converge.
A afirmação é Falsa.

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