Resolva a equação diferencial d yd x=e^2 x-y e^x+e^-x y^2, sabendo que y1=e^x é uma solução.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de Riccati
dydx=e^2x-y,e^x+e^-xy^2
e informa uma solução particular y1=e^x. Para resolver precisamos usar a substituição
y = y1 + 1u(x) = e^x + 1u,
que transforma a Riccati numa equação linear de primeira ordem para u(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
dydx = ddxl(e^x + 1ur) = e^x - 1u^2dudx
Substituindo isso e y=e^x+1/u na equação original obtemos, após simplificar termos,
e^x ;-;1u^2dudx = e^x + 2-e^xu + e^-xu^2
Isolando dudx ficamos com
-1u^2dudx = 2-e^xu + e^-xu^2 Longrightarrow dudx = (e^x-2),u ;-; e^-x

Passo 3

A equação para u é linear:
dudx - (e^x-2),u = -,e^-x
O fator integrante é
mu(x) = expgl(-integrall(e^x-2r),dxgr) = expl(-e^x+2xr)
Multiplicando a equação por mu(x) obtemos
ddxl(u,e^-e^x+2xr) = -,e^-x,e^-e^x+2x = -,expl(-e^x+xr)

Passo 4

Para integrar o lado direito, faça t=e^x, dt=e^xdxRightarrow dx=dt/t. Então
-,expl(-t+ln tr),dx = -,t,e^-t,dtt = -,e^-t,dt,
e
integral -,e^-t,dt = e^-t + C
Logo
u,e^-e^x+2x = e^-e^x + C Longrightarrow u = e^e^x-2xl(e^-e^x+Cr) = e^-2x + C,e^,e^x-2x

Passo 5

Voltando a y = e^x + 1/u, temos
y = e^x + 1e^-2x + C,e^e^x-2x = e^x + e^2x1 + C,e^,e^x

Resposta

A solução geral é
boxedy(x)=e^x ;+;e^2x1 + C,e^e^x,
onde C é constante arbitrária.

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