Resolva a equação diferencial
, sabendo que
é uma solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de Riccati
e informa uma solução particular
. Para resolver precisamos usar a substituição
que transforma a Riccati numa equação linear de primeira ordem para
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Substituindo isso e
na equação original obtemos, após simplificar termos,
Isolando
ficamos com
Passo 3
A equação para
é linear:
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Passo 4
Para integrar o lado direito, faça
,
. Então
e
Logo
Passo 5
Voltando a
, temos
Resposta
A solução geral é
onde
é constante arbitrária.