Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial:
(x^2+1) y^prime-(1-x^2) y=e^-x, y(-2)=0

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
l(x^2+1r),y' - l(1 - x^2r),y = e^-x, y(-2)=0
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma
y' + P(x),y = Q(x)
Vamos precisar reescrever a equação neste formato, obter o fator integrante, resolver a equação geral e então usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, dividimos tudo por x^2+1:
y' - 1 - x^2x^2+1,y = e^-xx^2+1
Logo
P(x) = -1 - x^2x^2+1, Q(x) = e^-xx^2+1

Passo 3

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(-!integral 1 - x^2x^2+1,dxr)
Calculamos
integral 1 - x^2x^2+1,dx = integral 1x^2+1,dx ;-;integral x^2x^2+1,dx = arctan x ;-;l(x - arctan xr) = 2,arctan x ;-; x
Portanto
mu(x) = expl(-l(2arctan x - xr)r) = e^,x - 2arctan x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x). O lado esquerdo vira
mu,y' + mu,P,y = ddxl(mu,yr),
e o lado direito é
mu(x),Q(x) = e^,x - 2arctan x,e^-xx^2+1 = e^-2arctan xx^2+1
Logo
ddxl(mu,yr) = e^-2arctan xx^2+1
Para integrar, usamos t = arctan x, de modo que dt = dx/(x^2+1). Então
integral e^-2arctan xx^2+1,dx = integral e^-2t,dt = -tfrac12,e^-2t + C = -tfrac12,e^-2arctan x + C
Portanto
mu(x),y = -tfrac12,e^-2arctan x + C
Isolando y:
y = -tfrac12,e^-2arctan xmu(x) ;+; C,1mu(x) = -tfrac12,e^-x ;+; C,e^-x + 2arctan x

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(-2)=0. Note que arctan(-2)=-arctan2. Então
0 = y(-2) = -tfrac12,e^2 + C,e^,2 + 2(-arctan2) = -tfrac12,e^2 + C,e^2 - 2arctan2
Logo
C = tfrac12,e^2e^2 - 2arctan2 = tfrac12,e^2arctan2

Passo 6

Substituindo C na solução geral,
y(x) = -tfrac12,e^-x + tfrac12,e^2arctan2,e^-x + 2arctan x = tfrac12,e^-xl(-1 + e^2(arctan x + arctan2)r)

Resposta

boxed y(x) = e^-x2,l(e^2(arctan x + arctan2) - 1r)

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