Calcule a soma das séries abaixo.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
O conteúdo principal aqui é usar frações parciais para transformar o termo geral num formato telescópico, de modo que a soma até N seja fácil de simplificar.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral em frações parciais. Suponha que
\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} =\frac{A}{n}+\frac{B}{n^{2}}+\frac{C}{n+1}+\frac{D}{(n+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por n^{2}(n+1)^{2}, obtemos
2n+1 = A\,n(n+1)^{2} + B\,(n+1)^{2} + C\,n^{2}(n+1) + D\,n^{2}.
Igualando coeficientes em n^{3},n^{2},n^{1},n^{0}, chega-se a
A+C=0,\quad 2A+B+C+D=0,\quad A+2B=2,\quad B=1.
Dessas equações segue B=1, A=0, C=0 e D=-1. Logo,

Passo 3

\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} =\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n+1)^{2}}.
Assim a soma parcial até N é
S_{N} =\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\Bigr) =1 - \frac{1}{(N+1)^{2}},
pois tudo telescopa.

Passo 4

Fazendo N\to\infty, o termo \frac{1}{(N+1)^{2}} vai a zero, então
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} = 1.

Resposta

1

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