Determinar o valor de cada limite expresso abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan (2 x)}{\sin (3 x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\arctan(2x)}{\sin(3x)}.
Trata-se de uma forma indeterminada 0/0, e vamos usar limites notáveis de funções trigonométricas e arctan.

Passo 2

Recordamos os seguintes limites notáveis:
\lim_{u\to0}\frac{\arctan(u)}{u}=1
e
\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u}=1.

Passo 3

Reescrevemos a expressão de forma a usar esses limites:
\frac{\arctan(2x)}{\sin(3x)} =\frac{\arctan(2x)}{2x}\;\cdot\;\frac{2x}{3x}\;\cdot\;\frac{3x}{\sin(3x)}.

Passo 4

Aplicando os limites notáveis em cada fator:
\lim_{x\to0}\frac{\arctan(2x)}{2x}=1, \qquad \lim_{x\to0}\frac{3x}{\sin(3x)}=1,
e o fator \tfrac{2x}{3x} tende a \tfrac{2}{3}. Logo
\lim_{x\to0}\frac{\arctan(2x)}{\sin(3x)} =1\cdot\frac{2}{3}\cdot1 =\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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