( 1,0 pontos) Encontre assíntota oblíqua da curva y=f(x) dada por \left(x^{2}+5\right) y-2 x^{3}-5=0.

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
\bigl(x^{2}+5\bigr)\,y \;-\;2x^{3}-5 \;=\;0
e pede a assíntota oblíqua de y=f(x). Para isso, vamos escrever y isolado e usar divisão de polinômios (ou limites) para obter a forma
y = a\,x + b + \text{(termo que tende a zero)}.

Passo 2

Isolando y, temos
y = \frac{2x^{3}+5}{x^{2}+5}.
Fazendo a divisão de polinômios de 2x^{3}+5 por x^{2}+5, obtemos
\frac{2x^{3}+5}{x^{2}+5} \;=\;2x \;+\;\frac{-10x+5}{\,x^{2}+5\,}.
Logo,
f(x) = 2x \;+\;\frac{-10x+5}{x^{2}+5}.

Passo 3

Na forma f(x)=ax+b+\text{resto}(x), o coeficiente angular é
a = 2.
Para achar o termo constante b, calculamos
b = \lim_{x\to\infty}\bigl[f(x)-2x\bigr] = \lim_{x\to\infty}\frac{-10x+5}{x^{2}+5} = 0.
Portanto, a assíntota oblíqua é
y = 2x.

Resposta

A assíntota oblíqua da curva é y=2x.

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