Determinar o valor de cada limite expresso abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede
L = \lim_{x\to+\infty} x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr).
O conteúdo usado será limites no infinito e a técnica de racionalização (multiplicar por conjugado) para eliminar a diferença de raízes.

Passo 2

Racionalizamos multiplicando e dividindo pelo conjugado \sqrt{x^2+1}+x:
x\bigl(\sqrt{x^2+1}-x\bigr) = x \cdot \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x} = x \cdot \frac{x^2+1 - x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} = x \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}.

Passo 3

No denominador, fatoramos x dentro da raiz:
\sqrt{x^2+1} = x\sqrt{1 + \frac1{x^2}}.
Portanto
x \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} = x \cdot \frac{1}{x\bigl(\sqrt{1+\tfrac1{x^2}}+1\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{1+\tfrac1{x^2}}+1}.

Passo 4

Agora basta avaliar o limite quando x\to+\infty. Como \tfrac1{x^2}\to0, temos \sqrt{1+\tfrac1{x^2}}\to1, então
L = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac1{x^2}}+1} = \frac{1}{1+1} = \tfrac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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