( \mathbf{2 , 0} pontos) Uma placa retangular de lados 2 e 3 está mergulhada verticalmente em um fluido de densidade \rho. Determine a força que o fluido exerce (força hidrostática) sobre a placa se o lado maior coincide com a superfície do fluido.
Boa Prova.

Passo 1

O enunciado dá uma placa retangular de lados 2 (altura) e 3 (largura), imersa verticalmente em um fluido de densidade \rho, com o lado maior ( 3) na superfície do fluido.
Queremos a força hidrostática total sobre a placa. O conteúdo aqui é pressão variável com a profundidade e integração de pequenas forças sobre a área.

Passo 2

Escolhemos o eixo y medindo a profundidade a partir da superfície do fluido: em \,y=0 está o topo da placa e em \,y=2 o fundo. Um elemento horizontal de altura \d y tem área
\d A = (\text{largura})\times\d y = 3\,\d y.

Passo 3

A pressão a uma profundidade y é dada por
p(y)=\rho g\,y.
A força sobre o elemento de área \d A vale
\d F = p(y)\,\d A = \rho g\,y\cdot 3\,\d y.

Passo 4

Integramos \d F de y=0 até y=2:
F = \int_{0}^{2} \rho g\cdot 3\,y\,\d y = 3\rho g \int_{0}^{2} y\,\d y =3\rho g\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2} =3\rho g\cdot\frac{4}{2}.

Passo 5

Calculando o valor numérico simbólico:
F = 3\rho g \cdot 2 =6\,\rho g.

Resposta

A força hidrostática sobre a placa é
F = 6\,\rho g.

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