Determine se a série
1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots
converge ou diverge. Se convergir encontre a sua soma.

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots
e pede que a gente determine se ela converge ou diverge. Se ela convergir, devo encontrar a sua soma. As informações relevantes: os termos sucessivos da série são 1,-1,1,-1,\dots e a série é a soma desses termos ao longo de todos os índices naturais.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral e os somatórios parciais para trabalhar com mais clareza. Defino o termo geral da série por
a_n = (-1)^{n+1},
ou seja a_1=1, a_2=-1, a_3=1, etc. A soma parcial de ordem n (também chamada de soma parcial) é
s_n=\sum_{k=1}^{n} a_k.
Vou calcular as primeiras somas parciais explicitamente para ver um padrão:
s_1 = 1,
s_2 = 1 + (-1) = 0,
s_3 = 1 + (-1) + 1 = 1,
s_4 = 1 + (-1) + 1 + (-1) = 0,
e assim por diante.

Passo 3

Observação do padrão: pelos cálculos acima, as somas parciais alternam entre 1\) e \(0\). Em termos gerais podemos escrever \[s_n = \begin{cases} 1, & \text{se \(n é ímpar},\[6pt] 0, & se n é par. \end{cases}]
Isso fica claro porque ao somar um número ímpar de termos sobra um 1 a mais; ao somar um número par de termos os 1 e -1 cancelam.]

Passo 4

Agora vou lembrar o critério de convergência de séries: uma série \sum_{k=1}^\infty a_k converge no sentido usual quando a sequência das suas somas parciais (s_n) tem limite finito, isto é, existe
\lim_{n\to\infty} s_n = S
para algum número real S. Se esse limite não existe, dizemos que a série diverge.

Passo 5

Como vimos em

Passo 6

a subsequência dos índices ímpares satisfaz
s_{2m-1}=1\quad\text{para todo }m\ge1\quad\Rightarrow\quad\lim_{m\to\infty}s_{2m-1}=1,
e a subsequência dos índices pares satisfaz
s_{2m}=0\quad\text{para todo }m\ge1\quad\Rightarrow\quad\lim_{m\to\infty}s_{2m}=0.
Como as duas subsequências têm limites distintos ( 1 e 0), a sequência completa (s_n) não tem limite. Portanto, pela definição de convergência de séries, a série não converge — isto é, diverge.

Passo 7

Uma observação prática e útil (mas que não altera o resultado anterior): existe um método de soma alternativa chamado soma de Cesàro. Nele definimos as médias aritméticas das somas parciais:
\sigma_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n s_k.
No nosso caso, como s_k é 1,0,1,0,\dots, temos para n par que \sigma_n=\tfrac{1}{2} e para n ímpar que
\sigma_n = \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}.
Logo \lim_{n\to\infty}\sigma_n = \tfrac{1}{2}. Dizemos, portanto, que a série é Cesàro-somável a \tfrac{1}{2}. Importante: isso não significa que a série converge no sentido usual — significa apenas que, sob essa regularização (Cesàro), associamos o valor \tfrac{1}{2} à série.

Passo 8

Conclusão prática para prova: como a sequência das somas parciais não converge (oscila entre 1 e 0), a série
1-1+1-1+1-1+\cdots
diverge no sentido usual. Se o enunciado pedisse soma por Cesàro (ou outro método regularizador), o valor seria \tfrac{1}{2}, mas isso é uma atribuição alternativa, não convergência clássica.

Resposta

A série diverge.

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