Determine se a série
converge ou diverge. Se convergir encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado nos dá a série infinita
e pede que a gente determine se ela converge ou diverge. Se ela convergir, devo encontrar a sua soma. As informações relevantes: os termos sucessivos da série são
e a série é a soma desses termos ao longo de todos os índices naturais.
Passo 2
Vamos escrever o termo geral e os somatórios parciais para trabalhar com mais clareza. Defino o termo geral da série por
ou seja
,
,
, etc. A soma parcial de ordem
(também chamada de soma parcial) é
Vou calcular as primeiras somas parciais explicitamente para ver um padrão:
e assim por diante.
Passo 3
Observação do padrão: pelos cálculos acima, as somas parciais alternam entre
é ímpar},\[6pt] 0, & se
é par. \end{cases}]
Isso fica claro porque ao somar um número ímpar de termos sobra um
a mais; ao somar um número par de termos os
e
cancelam.]
Passo 4
Agora vou lembrar o critério de convergência de séries: uma série
converge no sentido usual quando a sequência das suas somas parciais
tem limite finito, isto é, existe
para algum número real
. Se esse limite não existe, dizemos que a série diverge.
Passo 5
Como vimos em
Passo 6
a subsequência dos índices ímpares satisfaz
e a subsequência dos índices pares satisfaz
Como as duas subsequências têm limites distintos (
e
), a sequência completa
não tem limite. Portanto, pela definição de convergência de séries, a série não converge — isto é, diverge.
Passo 7
Uma observação prática e útil (mas que não altera o resultado anterior): existe um método de soma alternativa chamado soma de Cesàro. Nele definimos as médias aritméticas das somas parciais:
No nosso caso, como
é
, temos para
par que
e para
ímpar que
Logo
. Dizemos, portanto, que a série é Cesàro-somável a
. Importante: isso não significa que a série converge no sentido usual — significa apenas que, sob essa regularização (Cesàro), associamos o valor
à série.
Passo 8
Conclusão prática para prova: como a sequência das somas parciais não converge (oscila entre
e
), a série
diverge no sentido usual. Se o enunciado pedisse soma por Cesàro (ou outro método regularizador), o valor seria
, mas isso é uma atribuição alternativa, não convergência clássica.
Resposta
A série diverge.