Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge: 3-\frac{3}{4}+\frac{3}{16}-\frac{3}{64}+\cdots=\sum_{k=1}^{\infty} 3\left(-\frac{1}{4}\right)^{k-1}
e pede para encontrar a soma dessa série ou mostrar que ela diverge. Informações relevantes que o enunciado fornece:
A série é escrita como soma infinita com termo geral 3\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{k-1}.
Precisamos decidir se a série converge (tem soma finita) ou diverge, e se converge, calcular essa soma.
Passo 2
Vamos reconhecer a forma do termo geral. Uma série em que os termos têm a forma a\,r^{k-1} (com k começando em 1) é chamada de série geométrica. Aqui:
a é o primeiro termo da série (quando k=1 o fator r^{0}=1).
r é a razão comum, o número que multiplica um termo para obter o próximo.
Explicando bem: se eu tenho uma sequência a,\,ar,\,ar^2,\,\ldots, a soma infinita dessa sequência é a série geométrica. Há uma fórmula padrão para a soma parcial e para a soma total quando a razão tem valor absoluto menor que 1.
Passo 3
Identificamos o primeiro termo a e a razão r a partir do termo geral 3\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{k-1}.
Para k=1 o termo é 3\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{0}=3. Logo a=3.
A razão é o fator que se repete em potência: r=-\tfrac{1}{4}.
Passo 4
Agora a fórmula clássica para a soma parcial dos primeiros n termos de uma série geométrica com primeiro termo a e razão r (supondo r\neq 1) é derivada assim:
Considere a soma parcial
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}.
Multiplicando por r obtemos
rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n}.
Subtraindo as duas igualdades:
S_n - rS_n = a - ar^n.
Fatorando:
S_n(1-r) = a(1-r^n).
Portanto, para r\neq 1,
S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}.
Passo 5
Sobre convergência: se |r|<1, então \displaystyle\lim_{n\to\infty} r^n = 0. Assim, tomando limite em S_n,
\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série não converge (ou diverge), porque r^n não tende a zero e os termos parciais não se estabilizam.
Passo 6
Aplicando ao nosso caso: temos a=3 e r=-\tfrac{1}{4}. Note que