Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
3-\frac{3}{4}+\frac{3}{16}-\frac{3}{64}+\cdots=\sum_{k=1}^{\infty} 3\left(-\frac{1}{4}\right)^{k-1}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} 3\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{k-1}
e pede para encontrar a soma dessa série ou mostrar que ela diverge. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A série é escrita como soma infinita com termo geral 3\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{k-1}.
  • Precisamos decidir se a série converge (tem soma finita) ou diverge, e se converge, calcular essa soma.

Passo 2

Vamos reconhecer a forma do termo geral. Uma série em que os termos têm a forma a\,r^{k-1} (com k começando em 1) é chamada de série geométrica. Aqui:
  • a é o primeiro termo da série (quando k=1 o fator r^{0}=1).
  • r é a razão comum, o número que multiplica um termo para obter o próximo.
Explicando bem: se eu tenho uma sequência a,\,ar,\,ar^2,\,\ldots, a soma infinita dessa sequência é a série geométrica. Há uma fórmula padrão para a soma parcial e para a soma total quando a razão tem valor absoluto menor que 1.

Passo 3

Identificamos o primeiro termo a e a razão r a partir do termo geral 3\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{k-1}.
  • Para k=1 o termo é 3\left(-\tfrac{1}{4}\right)^{0}=3. Logo a=3.
  • A razão é o fator que se repete em potência: r=-\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Agora a fórmula clássica para a soma parcial dos primeiros n termos de uma série geométrica com primeiro termo a e razão r (supondo r\neq 1) é derivada assim:
Considere a soma parcial
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}.
Multiplicando por r obtemos
rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n}.
Subtraindo as duas igualdades:
S_n - rS_n = a - ar^n.
Fatorando:
S_n(1-r) = a(1-r^n).
Portanto, para r\neq 1,
S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}.

Passo 5

Sobre convergência: se |r|<1, então \displaystyle\lim_{n\to\infty} r^n = 0. Assim, tomando limite em S_n,
\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série não converge (ou diverge), porque r^n não tende a zero e os termos parciais não se estabilizam.

Passo 6

Aplicando ao nosso caso: temos a=3 e r=-\tfrac{1}{4}. Note que
\left|r\right|=\left|-\tfrac{1}{4}\right|=\tfrac{1}{4}<1,
portanto a série converge e sua soma é dada por
\frac{a}{1-r}=\frac{3}{1-(-\tfrac{1}{4})}.

Passo 7

Calculemos a expressão acima passo a passo:
1-(-\tfrac{1}{4})=1+\tfrac{1}{4}=\tfrac{5}{4}.
Então
\frac{3}{1-(-\tfrac{1}{4})}=\frac{3}{\tfrac{5}{4}}=3\cdot\frac{4}{5}=\frac{12}{5}.
Para ganhar intuição, os primeiros somatórios parciais são:
S_1=3,\quad S_2=3-\tfrac{3}{4}=\tfrac{9}{4}=2{,}25,\quad S_3=\tfrac{39}{16}=2{,}4375,\quad S_4=\tfrac{153}{64}=2{,}390625,
que oscilam e vão se aproximando de \tfrac{12}{5}=2{,}4.

Passo 8

Conclusão final: a série converge porque |r|=\tfrac{1}{4}<1 e sua soma é \tfrac{12}{5}.

Resposta

\tfrac{12}{5}

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