Calcule a soma
\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{1999^{2}}+\frac{1}{2000^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
S = \sum_{k=1}^{1999} \sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{(k+1)^{2}}}.
O conteúdo aqui é manipular a expressão dentro da raiz para revelar um padrão telescópico na soma.

Passo 2

Para o termo genérico dentro da raiz, fazemos a soma em um único quociente:
1 + \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{(k+1)^{2}} = \frac{k^{2}(k+1)^{2} + k^{2} + (k+1)^{2}}{k^{2}(k+1)^{2}}.
Calculando o numerador:
k^{2}(k+1)^{2} = k^{4} + 2k^{3} + k^{2}, \quad k^{2} + (k+1)^{2} = k^{2} + (k^{2} + 2k + 1) = 2k^{2} + 2k + 1,
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k^{4} + 2k^{3} + k^{2} + 2k^{2} + 2k + 1 = k^{4} + 2k^{3} + 3k^{2} + 2k + 1 = (k^{2} + k + 1)^{2}.
Portanto
1 + \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{(k+1)^{2}} = \frac{(k^{2} + k + 1)^{2}}{k^{2}(k+1)^{2}}.

Passo 3

Como o numerador é um quadrado perfeito, temos
\sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{(k+1)^{2}}} = \frac{k^{2} + k + 1}{k(k+1)}.
Agora observe que
\frac{k^{2} + k + 1}{k(k+1)} = \frac{k(k+1)}{k(k+1)} + \frac{1}{k(k+1)} = 1 + \frac{1}{k(k+1)}
e, além disso,
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1},
o que revela o caráter telescópico do termo.

Passo 4

Somando de k=1 até 1999:
S = \sum_{k=1}^{1999} \Bigl(1 + \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\Bigr) = \sum_{k=1}^{1999}1 \;+\;\sum_{k=1}^{1999}\Bigl(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\Bigr).
A primeira soma é 1999. A segunda telescopa:
\sum_{k=1}^{1999}\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr) = 1 - \frac{1}{2000} = \frac{1999}{2000}.
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S = 1999 + \frac{1999}{2000}.

Resposta

S = 1999 + \frac{1999}{2000} = \frac{3\,999\,999}{2000}.

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