Calcule as somas:
a) 2-2^2-2^3+2^4+ldots+2^n

Passo 1

O enunciado pede a soma
S(n)=2^1-2^2-2^3+2^4+cdots+2^n
onde os sinais dos termos repetem em quatro em quatro conforme o padrão
+,;-,;-,,+,;+;,-,;-,,+,;dots
ou seja, para cada k>=1 definimos
sk= +1,&se kequiv1pmod4 ou kequiv0pmod4, -1,&se kequiv2pmod4 ou kequiv3pmod4,
e então
S(n)=sumk=1^nsk,2^k

Passo 2

Vamos agrupar os termos em blocos de quatro. Para cada m>=0 o bloco 4m+1,4m+2,4m+3,4m+4
s4m+12^4m+1+s4m+22^4m+2+s4m+32^4m+3+s4m+42^4m+4 =2^4m+1l(1-2-4+8r) =2^4m+1cdot3
Logo cada bloco completo soma 3cdot2^4m+1.

Passo 3

Seja q=lfloor n/4rfloor o número de blocos completos de quatro e r=n-4q o resto ( 0<= r<=3).
A soma dos q blocos completos é
summ=0^q-13cdot2^4m+1 =3cdot2summ=0^q-116^m =6;16^,q-116-1 =25l(16^q-1r)

Passo 4

Falta ainda somar os r termos finais:
  • Se r=0, não sobra nada.
  • Se r=1, sobra s4q+12^4q+1=+2^4q+1=2cdot16^q
  • Se r=2, sobra 2^4q+1-2^4q+2=2cdot16^q-4cdot16^q=-2cdot16^q
  • Se r=3, sobra 2^4q+1-2^4q+2-2^4q+3 =2cdot16^q-4cdot16^q-8cdot16^q=-10cdot16^q

Passo 5

Somando blocos completos e resto, para n=4q+r obtemos
S(n)=25l(16^q-1r) + 0,&r=0,[6pt] 2cdot16^q,&r=1,[4pt] -2cdot16^q,&r=2,[4pt] -10cdot16^q,&r=3 ]

Resposta

Para n=4q+r com 0<= r<=3,
S(n)= 25l(16^q-1r) ;+; 0,&r=0, 2cdot16^q,&r=1, -2cdot16^q,&r=2, -10cdot16^q,&r=3
Este é o resultado geral da soma.

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