Calcule as somas de Riemann .
, P tem vértices . Pontilhamento: são os vértices inferiores direitos dos .

Passo 1

Beleza, olha só: a gente tem a função
f(x,y)=2 - x - y
no retângulo
R = [0,6]times[0,4],
e uma partição P que divide o eixo x nos pontos 0,2,4,6 e o eixo y em 0,2,4.
Os pontos amostrais qij são os vértices inferiores direitos de cada sub-retângulo.
Isso faz parte de Cálculo de Duas Variáveis: somas de Riemann para integrais duplas.
O plano é:
  1. calcular De<a x e De<a y;
  2. achar os qij;
  3. avaliar f(qij);
  4. somar tudo em
    S(f,P^*)=sumi,jf(qij),De<a A

Passo 2

A partição cria subdivisões em e em . Por definição:
Aqui:
  • $x_0=0,;x_1=2,;x_2=4,;x_3=6
;\Rightarrow$ para todo .
Logo cada área de sub-retângulo é

Passo 3

Os vértices inferiores direitos qij de cada retângulo são:
  • q11=(2,0)
  • q12=(2,2)
  • q21=(4,0)
  • q22=(4,2)
  • q31=(6,0)
  • q32=(6,2)

Passo 4

Agora, a gente avalia f(x,y)=2-x-y em cada qij:
f(2,0)&=2-2-0=0, f(2,2)&=2-2-2=-2, f(4,0)&=2-4-0=-2, f(4,2)&=2-4-2=-4, f(6,0)&=2-6-0=-4, f(6,2)&=2-6-2=-6

Passo 5

Só falta montar a soma de Riemann:
S(f,P^*) &= sumi=1^3sumj=1^2 f(qij),De<a A &=4l(0 +(-2)+(-2)+(-4)+(-4)+(-6)r) &=4cdot(-18) &=-72

Resposta

S(f,P^*) = -72

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