Calcule as somas de Riemann S(f, P^*).
f(x, y)=x y+3 y^2, R=[-1,1] times[-12, 12], P tem vértices -1,0,1 times-12, 12. Pontilhamento: qi j são os pontos médios das bases inferiores dos Ri j.

Passo 1

O enunciado pede a soma de Riemann
Sl(f,P^*r)=sumi,jfl(qijr),De<a xi,De<a yj
para
f(x,y)=x,y+3y^2, R=[-1,1]timesl[-tfrac12,tfrac12r],
com partições em x=-1,0,1 e y=-tfrac12,tfrac12. Os pontos qij são os pontos médios das bases inferiores de cada retângulo.

Passo 2

Como há duas fatias em x e uma em y, temos
De<a x1=0-(-1)=1, De<a x2=1-0=1,
De<a y1=tfrac12-(-tfrac12)=1

Passo 3

Os dois retângulos são
R11=[-1,0]times[-tfrac12,tfrac12], R21=[0,1]times[-tfrac12,tfrac12]
As bases inferiores ficam em y=-tfrac12, e seus pontos médios são
q11=l(tfrac-1+02,,-tfrac12r)=l(-tfrac12,-tfrac12r),
q21=l(tfrac0+12,,-tfrac12r)=l(tfrac12,-tfrac12r)

Passo 4

Calculamos
fl(-tfrac12,-tfrac12r)=l(-tfrac12cdot-tfrac12r)+3l(-tfrac12r)^2 =tfrac14+3cdottfrac14=1,
fl(tfrac12,-tfrac12r)=l(tfrac12cdot-tfrac12r)+3l(-tfrac12r)^2 =-tfrac14+3cdottfrac14=tfrac12

Passo 5

A soma de Riemann é
Sl(f,P^*r) =sumi=1^2fl(qi1r),De<a xi,De<a y1 =l(1+tfrac12r)times1times1 =tfrac32

Resposta

Sl(f,P^*r)=tfrac32

Exercícios relacionados