Calcule as somas das séries
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas séries infinitas. O conteúdo principal é decompor em frações parciais para obter somas telescópicas e reconhecer a série de Leibniz que converge para
. Vamos usar:
- Para a) decomposição em
e harmônicos. - Para b) decomposição em
e relação com .
Passo 2
Para a) escrevemos em frações parciais:
Logo, o somatório parcial até
é
Passo 3
Chamando de
o
-ésimo número harmônico, note que
Portanto
Passo 4
Como
e
, ao fazer
fica
Passo 5
Para b) fazemos também frações parciais:
O somatório até
é
Passo 6
Reconhecemos a série alternada de Leibniz:
Logo, ao deixar
,
Resposta
a)
b)
b)