Calcule as somas das séries
a) sumk=1^+infty 12 k(2 k-1) b) sumk=0^+infty 1(4 k+1)(4 k+3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas séries infinitas. O conteúdo principal é decompor em frações parciais para obter somas telescópicas e reconhecer a série de Leibniz que converge para pi/4. Vamos usar:
  1. Para a) decomposição em 12k(2k-1) e harmônicos.
  2. Para b) decomposição em 1(4k+1)(4k+3) e relação com 1 - 13 + 15 - cdots.

Passo 2

Para a) escrevemos em frações parciais:
12k(2k-1)=12k-1-12k
Logo, o somatório parcial até N é
SN=sumk=1^Nl(12k-1-12kr) =(1+tfrac13+cdots+tfrac12N-1)-(tfrac12+tfrac14+cdots+tfrac12N)

Passo 3

Chamando de Hn=summ=1^n1m o n-ésimo número harmônico, note que
1+tfrac13+cdots+tfrac12N-1 =H2N-l(tfrac12+tfrac14+cdots+tfrac12Nr) =H2N-tfrac12,HN
Portanto
SN=l(H2N-tfrac12HNr)-tfrac12HN =H2N-HN

Passo 4

Como H2N= ln(2N)+gamma+o(1) e HN=ln N+gamma+o(1), ao fazer Ntoinfty fica
sumk=1^infty12k(2k-1) =limNtoinfty(H2N-HN) =ln2

Passo 5

Para b) fazemos também frações parciais:
1(4k+1)(4k+3) =12l(14k+1-14k+3r)
O somatório até N é
TN=12sumk=0^Nl(14k+1-14k+3r) =12l(1-tfrac13+tfrac15-tfrac17+cdots-tfrac14N+3r)

Passo 6

Reconhecemos a série alternada de Leibniz:
1-tfrac13+tfrac15-tfrac17+cdots =pi4
Logo, ao deixar Ntoinfty,
sumk=0^infty1(4k+1)(4k+3) =12cdotpi4 =pi8

Resposta

a) ln2
b) pi8

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