Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
Se f é contínua então
integral0^1 integraly^raizy f(x, y) d x d y=integral0^1 integralx^2^x f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função f que é contínua e duas integrais duplas. A tarefa é dizer se a igualdade entre essas duas integrais é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a troca de ordem de integração e como identificar a região de integração no plano xy .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas integrais que aparecem na afirmação:
  1. integral0^1 integraly^raizy f(x, y) , dx , dy
  2. integral0^1 integralx^2^x f(x, y) , dy , dx
A ideia aqui é verificar se, ao mudar a ordem de integração, ainda estamos cobrindo a mesma região no plano xy . Se cobrirmos a mesma região, então as integrais serão iguais, especialmente porque a função f é contínua.

Passo 3

Vamos desenhar a região de integração para a primeira integral integral0^1 integraly^raizy f(x, y) , dx , dy .
  • O y varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de y , x varia de y até raizy .
Isso significa que estamos olhando para uma região onde, para cada y , x começa em y e vai até raizy .

Passo 4

Agora, vamos desenhar a região para a segunda integral integral0^1 integralx^2^x f(x, y) , dy , dx .
  • O x varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de x , y varia de x^2 até x .
Aqui, para cada x , y começa em x^2 (a parábola) e vai até x (a linha reta).

Passo 5

Vamos comparar as regiões das duas integrais. Na primeira integrais, para cada y , x vai de y a raizy . Na segunda, para cada x , y vai de x^2 a x . Ao desenhar essas regiões, percebemos que elas são equivalentes — estamos apenas trocando a ordem de integração. Como a função f é contínua, a troca de ordem dos limites de integração é permitida e válida.

Resposta

Verdadeiro.

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