Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
Se
é contínua então
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
que é contínua e duas integrais duplas. A tarefa é dizer se a igualdade entre essas duas integrais é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a troca de ordem de integração e como identificar a região de integração no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas integrais que aparecem na afirmação:
A ideia aqui é verificar se, ao mudar a ordem de integração, ainda estamos cobrindo a mesma região no plano
. Se cobrirmos a mesma região, então as integrais serão iguais, especialmente porque a função
é contínua.
Passo 3
Vamos desenhar a região de integração para a primeira integral
.
- O
varia de 0 a 1. - Para cada valor de
, varia de até .
Isso significa que estamos olhando para uma região onde, para cada
,
começa em
e vai até
.
Passo 4
Agora, vamos desenhar a região para a segunda integral
.
- O
varia de 0 a 1. - Para cada valor de
, varia de até .
Aqui, para cada
,
começa em
(a parábola) e vai até
(a linha reta).
Passo 5
Vamos comparar as regiões das duas integrais. Na primeira integrais, para cada
,
vai de
a
. Na segunda, para cada
,
vai de
a
. Ao desenhar essas regiões, percebemos que elas são equivalentes — estamos apenas trocando a ordem de integração. Como a função
é contínua, a troca de ordem dos limites de integração é permitida e válida.
Resposta
Verdadeiro.