Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
Se f é contínua então
integral0^1 / raiz5 integral2 x^raiz1-x^2 f(x, y) d y d x=integral0^2 / raiz5 integral0^y / 2 f(x, y) d x d y+integral2 / raiz5^1 integral0^raiz1-y^2 f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma função contínua f, vale a igualdade
integral0^1/raiz5!integral2x^raiz1-x^2f(x,y),dy,dx = integral0^2/raiz5!integral0^y/2f(x,y),dx,dy + integral2/raiz5^1!integral0^raiz1-y^2f(x,y),dx,dy
Aqui o conteúdo usado é o Teorema de Fubini para inverter a ordem de integração, identificando corretamente a região de integração no plano (x,y).

Passo 2

Vamos chamar de D a região de integração dada pela integral original. Em termos de desigualdades,
D = l(x,y)mid 0 <= x <= tfrac1raiz5,;2x <= y <= raiz1-x^2r

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo y. Observe que o menor valor de y ocorre em y=2x quando x=0, isto é ymin=0, e o maior valor ocorre em raiz1-x^2 quando x=0, isto é ymax=1. Logo
0 <= y <= 1

Passo 4

Para cada y fixo em [0,1], os pontos (x,y)in D devem satisfazer simultaneamente
0 <= x <= tfrac1raiz5, 2x <= y, x <= raiz1-y^2
Da condição 2x<= y vem x<= y/2. Então, o teto para x é o mínimo entre tfrac1raiz5, y/2 e raiz1-y^2. Comparando y/2 e raiz1-y^2, notamos que
y2 <= raiz1-y^2 Long<=ftrightarrow y^2 <= tfrac45 Long<=ftrightarrow 0 <= y <= tfrac2raiz5
Para 0<= y<= 2/raiz5, o limite ativo é x<= y/2. Para 2/raiz5<= y<=1, verifica-se raiz1-y^2<= y/2 e também raiz1-y^2<=1/raiz5, logo o teto é x<=raiz1-y^2.

Passo 5

Portanto, invertendo a ordem de integração obtemos
integral0^1/raiz5!integral2x^raiz1-x^2f(x,y),dy,dx =integral0^2/raiz5!integral0^y/2f(x,y),dx,dy +integral2/raiz5^1!integral0^raiz1-y^2f(x,y),dx,dy,
exatamente como afirmado.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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