Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
Se
é contínua então
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, para uma função contínua
, vale a igualdade
Aqui o conteúdo usado é o Teorema de Fubini para inverter a ordem de integração, identificando corretamente a região de integração no plano
.
Passo 2
Vamos chamar de
a região de integração dada pela integral original. Em termos de desigualdades,
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
. Observe que o menor valor de
ocorre em
quando
, isto é
, e o maior valor ocorre em
quando
, isto é
. Logo
Passo 4
Para cada
fixo em
, os pontos
devem satisfazer simultaneamente
Da condição
vem
. Então, o teto para
é o mínimo entre
,
e
. Comparando
e
, notamos que
Para
, o limite ativo é
. Para
, verifica-se
e também
, logo o teto é
.
Passo 5
Portanto, invertendo a ordem de integração obtemos
exatamente como afirmado.
Resposta
A afirmação é verdadeira.