Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
Se
é contínua então
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar uma afirmação como verdadeira ou falsa relacionada a integrais duplas. A gente está trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas e regiões de integração. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e como isso afeta o resultado da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração da primeira integral:
Aqui, y varia de 1 a 2. Para cada y, x varia de
a
. Isso descreve uma parte do círculo de raio 2 (já que
) onde y está entre 1 e 2.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda integral:
Aqui, x varia de 0 a
, e para cada x, y varia de 1 a
. Essa região também está dentro do mesmo círculo de raio 2, mas apenas no lado direito (x positivo) e y de 1 a
.
Passo 4
Para comparar as duas integrais, precisamos verificar se as regiões de integração são iguais. A primeira integral cobre toda a região onde y está entre 1 e 2, e x vai de
a
, ou seja, do lado esquerdo ao direito do círculo.
Já a segunda integral cobre apenas uma parte dessa região: apenas o lado direito do círculo (x de 0 a
) e y de 1 a
. Falta cobrir o lado esquerdo (x negativo) da região original.
Passo 5
Como as regiões de integração não são exatamente as mesmas, a igualdade das duas integrais não se mantém. A segunda integral não contabiliza a parte do círculo onde x é negativo, que está presente na primeira integral.
Resposta
Falsa.