Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
Se f é contínua então
integral1^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 f(x, y) d x d y=integral0^raiz3 integral1^raiz4-x^2 f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar uma afirmação como verdadeira ou falsa relacionada a integrais duplas. A gente está trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas e regiões de integração. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e como isso afeta o resultado da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração da primeira integral:
integral1^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 f(x, y) , dx , dy
Aqui, y varia de 1 a 2. Para cada y, x varia de -raiz4 - y^2 a raiz4 - y^2. Isso descreve uma parte do círculo de raio 2 (já que x^2 + y^2 = 4) onde y está entre 1 e 2.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda integral:
integral0^raiz3 integral1^raiz4-x^2 f(x, y) , dy , dx
Aqui, x varia de 0 a raiz3, e para cada x, y varia de 1 a raiz4 - x^2. Essa região também está dentro do mesmo círculo de raio 2, mas apenas no lado direito (x positivo) e y de 1 a raiz4 - x^2.

Passo 4

Para comparar as duas integrais, precisamos verificar se as regiões de integração são iguais. A primeira integral cobre toda a região onde y está entre 1 e 2, e x vai de -raiz4 - y^2 a raiz4 - y^2, ou seja, do lado esquerdo ao direito do círculo.
Já a segunda integral cobre apenas uma parte dessa região: apenas o lado direito do círculo (x de 0 a raiz3) e y de 1 a raiz4 - x^2. Falta cobrir o lado esquerdo (x negativo) da região original.

Passo 5

Como as regiões de integração não são exatamente as mesmas, a igualdade das duas integrais não se mantém. A segunda integral não contabiliza a parte do círculo onde x é negativo, que está presente na primeira integral.

Resposta

Falsa.

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