Racionalize: \frac{3}{\sqrt{4}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: \dfrac{3}{\sqrt{4}}.
  • Pedido: “Racionalizar” significa deixar o denominador sem raízes (ou seja, torná-lo um número racional, sem \sqrt{\cdot} no denominador).
    Informações úteis que já temos no enunciado: o denominador é \sqrt{4}, que é uma raiz quadrada de um número inteiro.

Passo 2

Entender a ideia de racionalização (aula rápida).
  • Quando temos uma fração da forma \dfrac{b}{\sqrt{a}} com a>0, uma técnica comum é multiplicar numerador e denominador por \sqrt{a}. Assim:
\dfrac{b}{\sqrt{a}}\cdot\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\dfrac{b\sqrt{a}}{(\sqrt{a})^2}=\dfrac{b\sqrt{a}}{a}.
  • A razão disso é simples: (\sqrt{a})^2=a, que é um número racional quando a é inteiro.
  • Observação: se \sqrt{a} já for um número racional (por exemplo \sqrt{4}=2), então basta simplificar diretamente.

Passo 3

Aplicando a simplificação direta (método mais simples neste caso).
  • Reconhecer que 2 é raiz quadrada de 4 porque 2^2=4. Logo:
\sqrt{4}=2.
  • Substituindo na expressão dada:
\dfrac{3}{\sqrt{4}}=\dfrac{3}{2}.

Passo 4

Mostrar também a racionalização pelo método geral (para treinar a técnica).
  • Multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{4}:
\dfrac{3}{\sqrt{4}}\cdot\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}=\dfrac{3\sqrt{4}}{(\sqrt{4})^2}.
  • Como (\sqrt{4})^2=4, fica
\dfrac{3\sqrt{4}}{4}.
  • Substituindo \sqrt{4}=2 na parte numérica:
\dfrac{3\cdot 2}{4}=\dfrac{6}{4}.
  • Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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