Escreva na forma trigonométrica os números:
\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma trigonométrica o número \bigl(\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^{2}. O conteúdo envolvido é a representação trigonométrica de números complexos e a aplicação da fórmula de De Moivre.

Passo 2

Seja
z = \frac{1}{2} + i\,\frac{\sqrt{3}}{2}.
Calculamos seu módulo:
r = |z| = \sqrt{\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4}} = 1.
E seu argumento:
\theta = \arg(z) = \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}\bigr) = \arctan(\sqrt{3}) = \tfrac{\pi}{3}.

Passo 3

Logo, na forma trigonométrica,
z = \cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) + i\,\sin\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr).

Passo 4

Pela fórmula de De Moivre, para z^2 temos
  • o novo módulo é r^2 = 1^2 = 1,
  • o novo argumento é 2\theta = 2\cdot\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}.
    Portanto,
z^2 = \cos\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) + i\,\sin\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr).

Resposta

\cos\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) + i\,\sin\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr).

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