- Calcule
pelo método de Newton, considerando como critério de parada a tolerância do Tipo 2 de
. Teste com as aproximações iniciais
e
. Sugiro que faça todos os testes de convergência. Justifique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
- O enunciado pede aplicar o método de Newton para resolver a equação
, ou seja encontrar tal que . - Critério de parada: tolerância do Tipo 2 de
. (Vou definir explicitamente o que entendo por “Tipo 2” e testar também outros critérios de convergência para justificar.) - Aproximações iniciais a testar:
e . - Solicitação adicional: “faça todos os testes de convergência. Justifique.” — portanto vou verificar os critérios usuais (diferença absoluta entre iterações, diferença relativa entre iterações — que vou tomar como “Tipo 2” — e o resíduo
), e comentar o comportamento global da sequência de Newton.
Passo 2
O que é o método de Newton e qual fórmula vamos usar (aula rápida).
- O método de Newton para encontrar uma raiz de uma função
usa a iteração
Aqui
é o valor da função na aproximação atual e
é sua derivada; a ideia é aproximar
por sua linearização e tomar a interseção com o eixo
.
- Critérios de parada comuns:
- Tipo 1 (diferença absoluta): parar quando
. - Tipo 2 (diferença relativa entre iterações): vou tomar como
que é uma definição padrão de erro relativo entre iterações. Observação: esse critério usa divisão por , por isso pode ser problemático se a raiz for zero — vou comentar isso e mostrar o que ocorre. - Tipo 3 (resíduo): parar quando
.
- Tipo 1 (diferença absoluta): parar quando
- Vou testar os três critérios (1 absoluto, 2 relativo como definido acima, 3 resíduo) para justificar por que o método converge ou não nos dois
dados.
Passo 3
Escolher
e calcular
. Derivar a fórmula iterativa específica.
- Tomamos
. Queremos resolver . - Derivada:
(Aqui atenção:
é singular em
: tende a infinito quando
. Isso já é um sinal de que Newton pode ter problemas porque o método costuma exigir derivada finita na vizinhança da raiz.)
- A iteração de Newton fica
Simplificando a fração:
Logo a regra iterativa é extremamente simples:
Passo 4
Fórmula explícita da sequência e comportamento geral (aula sobre estabilidade).
- A relação recursiva
tem solução explícita
- Interpretação: a cada iteração o valor é multiplicado por
. Portanto o módulo cresce exponencialmente com sempre que . - Conclusão teórica de estabilidade: a raiz exata é
. Para um processo iterativo , um ponto fixo é localmente atraente se (contrátil) e repulsivo se . Aqui e , logo : a raiz é um ponto fixo instável (repulsivo). Isso explica por que Newton diverge, exceto no caso trivial .
Passo 5
Avaliação do critério Tipo 2 (diferença relativa) para a sequência — argumento que responde diretamente à exigência do enunciado.
- Calculemos a razão relativa entre iterações:
- Observação importante: o valor
é independente de e de (desde que ). Portanto, para qualquer aproximação inicial não nula, a métrica relativa entre iterações é sempre . - Comparando com a tolerância do Tipo 2 pedida no enunciado,
, vemos que
portanto a condição de parada do Tipo 2 nunca será satisfeita para quaisquer
. Logo, sob a definição adotada de Tipo 2, o método de Newton não para (não alcança a tolerância) e não converge para a raiz quando
.
Passo 6
Testes numéricos/numéricos curtos para as aproximações pedidas (mostrar as primeiras iterações e os valores dos critérios).
-
Caso
: - Iterações:
, , , , (módulo dobra a cada passo). - Tipo 2 (relativo): conforme cálculo anterior,
para todo , portanto nunca fica abaixo de . - Tipo 1 (diferença absoluta):
, , etc.; as diferenças crescem, então a condição também nunca ocorrerá. - Tipo 3 (resíduo):
. Como cresce exponencialmente, o resíduo cresce também, então nunca ocorrerá. - Conclusão prática: para
o método diverge imediatamente e não satisfaz nenhum dos critérios.
- Iterações:
-
Caso
(escrevo como ): - Iterações:
, , , . O módulo cresce por fatores a cada passo. - Tipo 2 (relativo): novamente
sempre, logo nunca abaixo de . - Tipo 1 (diferença absoluta):
. Note que , então um critério de diferença absoluta mal aplicado poderia tomar isso como “convergência” já ao primeiro passo — mas isso seria enganoso, porque as iterações seguintes crescem e o método de fato diverge. Ou seja, o Tipo 1 pode dar um falso positivo inicial se a tolerância for grande comparada ao tamanho das primeiras mudanças; não é confiável aqui. - Tipo 3 (resíduo): calcule o resíduo em
: que é maior que . Portanto o resíduo também não atinge a tolerância pedida. - Conclusão prática: apesar de a primeira diferença absoluta ser muito pequena, o critério Tipo 2 (relativo) e o resíduo mostram que não há convergência; a sequência diverge a partir daí.
- Iterações:
Passo 7
Resumo didático e interpretação final — por que isso acontece e o que aprender para a prova.
- Porque
é singular (infinito), as hipóteses usuais de convergência local do método de Newton não valem: Newton pressupõe que seja finita e contínua na vizinhança da raiz; aqui não é o caso, e a iteração reduz-se a um mapa linear com derivada em igual a de módulo maior que — por isso a raiz é instável. - Um ponto prático importantíssimo para a prova: escolher a função a ser aplicada ao método faz diferença. A equação
é equivalente a , mas escolher é péssimo para Newton porque explode em . Se se reescrevesse o problema como resolver (ou simplesmente usar ou com outra formulação), Newton teria comportamento diferente. Por exemplo, se tomarmos e aplicarmos Newton: então que converge geometricamente para (fator ). Portanto reescrever a equação de forma adequada pode transformar um caso de diver gência num caso convergente. - Moral para a prova: sempre verifique a suavidade/derivabilidade da função na raiz e calcule explicitamente a iteração. Calcule também o fator de contração/local para avaliar estabilidade. Não confie apenas em uma verificação numérica de diferença absoluta quando a raiz for zero — melhor usar resíduo ou diferença relativa com cuidado.
Resposta
Para
: o método de Newton diverge (a iterada segue
) e a tolerância do Tipo 2
nunca é satisfeita.
Para
: o método de Newton também diverge (
), e a tolerância do Tipo 2
nunca é satisfeita.