1. Calcule \sqrt[3]{x}=0 pelo método de Newton, considerando como critério de parada a tolerância do Tipo 2 de 10^{-3}. Teste com as aproximações iniciais x_{0}=1 e x_{0}=10^{-8}. Sugiro que faça todos os testes de convergência. Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • O enunciado pede aplicar o método de Newton para resolver a equação \sqrt[3]{x}=0, ou seja encontrar x tal que \sqrt[3]{x}=0.
  • Critério de parada: tolerância do Tipo 2 de 10^{-3}. (Vou definir explicitamente o que entendo por “Tipo 2” e testar também outros critérios de convergência para justificar.)
  • Aproximações iniciais a testar: x_{0}=1 e x_{0}=10^{-8}.
  • Solicitação adicional: “faça todos os testes de convergência. Justifique.” — portanto vou verificar os critérios usuais (diferença absoluta entre iterações, diferença relativa entre iterações — que vou tomar como “Tipo 2” — e o resíduo |f(x)|), e comentar o comportamento global da sequência de Newton.

Passo 2

O que é o método de Newton e qual fórmula vamos usar (aula rápida).
  • O método de Newton para encontrar uma raiz de uma função f usa a iteração
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f(x_n) é o valor da função na aproximação atual e f'(x_n) é sua derivada; a ideia é aproximar f por sua linearização e tomar a interseção com o eixo x.
  • Critérios de parada comuns:
    • Tipo 1 (diferença absoluta): parar quando \left|x_{n+1}-x_n\right|<\text{tol}.
    • Tipo 2 (diferença relativa entre iterações): vou tomar como
    \frac{\left|x_{n+1}-x_n\right|}{\left|x_{n+1}\right|}<\text{tol},que é uma definição padrão de erro relativo entre iterações. Observação: esse critério usa divisão por \left|x_{n+1}\right|, por isso pode ser problemático se a raiz for zero — vou comentar isso e mostrar o que ocorre.
    • Tipo 3 (resíduo): parar quando \left|f(x_{n+1})\right|<\text{tol}.
  • Vou testar os três critérios (1 absoluto, 2 relativo como definido acima, 3 resíduo) para justificar por que o método converge ou não nos dois x_0 dados.

Passo 3

Escolher f e calcular f'. Derivar a fórmula iterativa específica.
  • Tomamos f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}. Queremos resolver f(x)=0.
  • Derivada:
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
(Aqui atenção: f' é singular em x=0: tende a infinito quando x\to 0. Isso já é um sinal de que Newton pode ter problemas porque o método costuma exigir derivada finita na vizinhança da raiz.)
  • A iteração de Newton fica
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^{1/3}}{\tfrac{1}{3}x_n^{-2/3}}.
Simplificando a fração:
\frac{x_n^{1/3}}{\tfrac{1}{3}x_n^{-2/3}}=x_n^{1/3}\cdot 3x_n^{2/3}=3x_n^{(1/3+2/3)}=3x_n.
Logo a regra iterativa é extremamente simples:
\boxed{\,x_{n+1}=x_n-3x_n=-2x_n. \,}

Passo 4

Fórmula explícita da sequência e comportamento geral (aula sobre estabilidade).
  • A relação recursiva x_{n+1}=-2x_n tem solução explícita
x_n = (-2)^n x_0\qquad\text{para }n=0,1,2,\dots
  • Interpretação: a cada iteração o valor é multiplicado por -2. Portanto o módulo \left|x_n\right|=2^n\left|x_0\right| cresce exponencialmente com n sempre que x_0\neq 0.
  • Conclusão teórica de estabilidade: a raiz exata é x=0. Para um processo iterativo x_{n+1}=g(x_n), um ponto fixo x^\ast é localmente atraente se |g'(x^\ast)|<1 (contrátil) e repulsivo se |g'(x^\ast)|>1. Aqui g(x)=-2x e g'(x)=-2, logo |g'(0)|=2>1: a raiz 0 é um ponto fixo instável (repulsivo). Isso explica por que Newton diverge, exceto no caso trivial x_0=0.

Passo 5

Avaliação do critério Tipo 2 (diferença relativa) para a sequência — argumento que responde diretamente à exigência do enunciado.
  • Calculemos a razão relativa entre iterações:
\frac{\left|x_{n+1}-x_n\right|}{\left|x_{n+1}\right|} = \frac{\left|{-2x_n}-x_n\right|}{\left|{-2x_n}\right|} = \frac{3\left|x_n\right|}{2\left|x_n\right|}=\frac{3}{2}=1{,}5.
  • Observação importante: o valor \dfrac{3}{2} é independente de n e de x_0 (desde que x_0\neq 0). Portanto, para qualquer aproximação inicial não nula, a métrica relativa entre iterações é sempre 1{,}5.
  • Comparando com a tolerância do Tipo 2 pedida no enunciado, \,10^{-3}, vemos que
1{,}5 \gg 10^{-3},
portanto a condição de parada do Tipo 2 nunca será satisfeita para quaisquer x_0\neq 0. Logo, sob a definição adotada de Tipo 2, o método de Newton não para (não alcança a tolerância) e não converge para a raiz quando x_0\neq 0.

Passo 6

Testes numéricos/numéricos curtos para as aproximações pedidas (mostrar as primeiras iterações e os valores dos critérios).
  • Caso x_0=1:
    • Iterações: x_0=1, x_1=-2, x_2=4, x_3=-8, \dots (módulo dobra a cada passo).
    • Tipo 2 (relativo): conforme cálculo anterior, \dfrac{|x_{n+1}-x_n|}{|x_{n+1}|}=1{,}5 para todo n, portanto nunca fica abaixo de 10^{-3}.
    • Tipo 1 (diferença absoluta): |x_{1}-x_0|=3, |x_{2}-x_1|=6, etc.; as diferenças crescem, então a condição |x_{n+1}-x_n|<10^{-3} também nunca ocorrerá.
    • Tipo 3 (resíduo): |f(x_n)|=|x_n|^{1/3}. Como |x_n| cresce exponencialmente, o resíduo cresce também, então |f(x_n)|<10^{-3} nunca ocorrerá.
    • Conclusão prática: para x_0=1 o método diverge imediatamente e não satisfaz nenhum dos critérios.
  • Caso x_0=10^{-8} (escrevo como 10^{-8}):
    • Iterações: x_0=10^{-8}, x_1=-2\cdot 10^{-8}, x_2=4\cdot 10^{-8}, \dots. O módulo cresce por fatores 2 a cada passo.
    • Tipo 2 (relativo): novamente \dfrac{|x_{n+1}-x_n|}{|x_{n+1}|}=1{,}5 sempre, logo nunca abaixo de 10^{-3}.
    • Tipo 1 (diferença absoluta): |x_1-x_0|=3\cdot 10^{-8}. Note que 3\cdot 10^{-8}<10^{-3}, então um critério de diferença absoluta mal aplicado poderia tomar isso como “convergência” já ao primeiro passo — mas isso seria enganoso, porque as iterações seguintes crescem e o método de fato diverge. Ou seja, o Tipo 1 pode dar um falso positivo inicial se a tolerância for grande comparada ao tamanho das primeiras mudanças; não é confiável aqui.
    • Tipo 3 (resíduo): calcule o resíduo em x_1: |f(x_1)|=|x_1|^{1/3}=(2\cdot 10^{-8})^{1/3}=2^{1/3}\cdot 10^{-8/3}\approx 1{,}26\cdot 10^{-2{,}666\ldots}\approx 2{,}7\times 10^{-3},que é maior que 10^{-3}. Portanto o resíduo também não atinge a tolerância pedida.
    • Conclusão prática: apesar de a primeira diferença absoluta ser muito pequena, o critério Tipo 2 (relativo) e o resíduo mostram que não há convergência; a sequência diverge a partir daí.

Passo 7

Resumo didático e interpretação final — por que isso acontece e o que aprender para a prova.
  • Porque f'(0) é singular (infinito), as hipóteses usuais de convergência local do método de Newton não valem: Newton pressupõe que f' seja finita e contínua na vizinhança da raiz; aqui não é o caso, e a iteração reduz-se a um mapa linear g(x)=-2x com derivada em 0 igual a -2 de módulo maior que 1 — por isso a raiz é instável.
  • Um ponto prático importantíssimo para a prova: escolher a função a ser aplicada ao método faz diferença. A equação \sqrt[3]{x}=0 é equivalente a x=0, mas escolher f(x)=x^{1/3} é péssimo para Newton porque f' explode em 0. Se se reescrevesse o problema como resolver h(x)=x (ou simplesmente usar h(x)=x ou p(x)=x^3-0 com outra formulação), Newton teria comportamento diferente. Por exemplo, se tomarmos p(x)=x^3 e aplicarmos Newton: p(x)=x^3,\qquad p'(x)=3x^2,então x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3}{3x_n^2}=x_n-\frac{x_n}{3}=\frac{2}{3}x_n,que converge geometricamente para 0 (fator 2/3). Portanto reescrever a equação de forma adequada pode transformar um caso de diver gência num caso convergente.
  • Moral para a prova: sempre verifique a suavidade/derivabilidade da função na raiz e calcule explicitamente a iteração. Calcule também o fator de contração/local para avaliar estabilidade. Não confie apenas em uma verificação numérica de diferença absoluta quando a raiz for zero — melhor usar resíduo ou diferença relativa com cuidado.

Resposta

Para x_{0}=1: o método de Newton diverge (a iterada segue x_n=(-2)^n\cdot 1) e a tolerância do Tipo 2 10^{-3} nunca é satisfeita.
Para x_{0}=10^{-8}: o método de Newton também diverge ( x_n=(-2)^n\cdot 10^{-8} ), e a tolerância do Tipo 2 10^{-3} nunca é satisfeita.

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