\mathrm{Ar}\left(21 \%\right. molar de \left.\mathrm{O}_{2}\right) e propeno \left(\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{8}\right) são alimentados em uma certa proporção mássica que permite calcular o número de moles de ar, \mathrm{n}_{\mathrm{A}}, e de propeno, \mathrm{n}_{\mathrm{P}}, que entram na câmara para uma certa base mássica. Sabendo que os produtos de combustão são apenas o dióxido e o monóxido de carbono, o vapor d’água e o hidrogênio, além do nitrogênio existente no ar de alimentação, queremos calcular a composição do gás de combustão. Precisamos, então, calcular o número de moles, \mathrm{n}_{\mathrm{i}}, dos seus 5 componentes. Para tanto, são necessárias 5 equações independentes que relacionem os seus valores. Quatro destas equações podem ser obtidas através do balanço de massa na câmara de combustão, uma para cada espécie química. Uma última equação é obtida pelo dado adicional que, na temperatura de combustão da câmara (2030 \mathrm{~K}), a razão entre o número de moles do monóxido de carbono e do dióxido de carbono é de 0,342 :
a) Desenvolva o sistema de equações algébricas para este problema. b) Qual método pode ser considerado para determinar a composição dos gases de combustão? c) Calcule a composição dos gases de combustão se a mistura inicial for 1 mol de propeno e 30 mols de ar.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá (peguei tudo do enunciado):
  • Pedidos:
    a) Desenvolver o sistema de equações algébricas que permite calcular os números de mols dos cinco componentes dos gases de combustão.
    b) Indicar que método pode ser considerado para determinar essa composição.
    c) Calcular numericamente a composição quando a mistura inicial é 1 mol de propeno e 30 mols de ar.
  • Informações fornecidas:
    • Combustível: propeno com fórmula fornecida no enunciado como \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8} (usar a fórmula tal como dada).
    • Ar de alimentação: contém \,21\% molar de \mathrm{O}_{2} (logo 79\% molar restante considerado \mathrm{N}_{2}).
    • Produtos (segundo o enunciado): apenas \mathrm{CO}_{2}, \mathrm{CO}, \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}, \mathrm{H}_{2}, além do \mathrm{N}_{2} do ar.
    • Dado adicional (equilíbrio a 2030\\ \mathrm{K}): razão entre monóxido e dióxido de carbono \frac{n_{\mathrm{CO}}}{n_{\mathrm{CO}_{2}}}=0{,}342.
    • Variáveis a determinar: os números de mols dos cinco componentes nos produtos: n_{\mathrm{CO}_{2}},\quad n_{\mathrm{CO}},\quad n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}},\quad n_{\mathrm{H}_{2}},\quad n_{\mathrm{N}_{2}}.
    • Parâmetros gerais (para formular as equações): número de mols de combustível \,n_{P}\, e número de mols de ar \,n_{A}\,. No item (c) será usado \,n_{P}=1 e \,n_{A}=30.

Passo 2

Princípio usado para construir as equações: balanço atômico (massa) para cada elemento que aparece (C, H, O, N) e a equação extra dada pela razão \,n_{\mathrm{CO}}/n_{\mathrm{CO}_{2}}. Vou explicar como escrever cada balanço de forma clara.
Definição das quantidades de entrada (em moles):
  • Combustível: cada mol de \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8} (segundo o enunciado) fornece 3 átomos de C e 8 átomos de H; portanto, para \,n_{P} mols de combustível temos 3 n_{P} mols de átomos de C e 8 n_{P} mols de átomos de H.
  • Ar: por mol de ar consideramos 0{,}21 mol de \mathrm{O}_{2} e 0{,}79 mol de \mathrm{N}_{2}. Logo, em termos de moles:
    • Moléculas de \mathrm{O}_{2} alimentadas: 0{,}21\,n_{A}.
    • Moléculas de \mathrm{N}_{2} alimentadas: 0{,}79\,n_{A}.
    • Em termos de átomos de oxigénio (contagem atomos O): cada mol de \mathrm{O}_{2} tem 2 átomos de O, logo átomos de O disponíveis =2\cdot(0{,}21\,n_{A})=0{,}42\,n_{A} (moles de átomos de O).
Agora os produtos e quantos átomos de cada elemento aparecem por mol de produto:
  • \mathrm{CO}_{2}: por mol tem 1 C e 2 O.
  • \mathrm{CO}: por mol tem 1 C e 1 O.
  • \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}: por mol tem 2 H e 1 O.
  • \mathrm{H}_{2}: por mol tem 2 H e 0 O.
  • \mathrm{N}_{2}: por mol tem 2 N (mas como entramos em mols de \mathrm{N}_{2}, o balanço de nitrogênio fica direto no número de mols de \mathrm{N}_{2}).
Com isso tudo claro, vamos montar as equações.

Passo 3

Montagem das cinco equações independentes (forma algébrica):
  1. Balanço de carbono (C):
3\,n_{P} = n_{\mathrm{CO}_{2}} + n_{\mathrm{CO}}.
Explicação: cada mol de combustível tem 3 átomos de C; todos os carbonos nos produtos aparecem apenas em \mathrm{CO}_{2} e \mathrm{CO}.
  1. Balanço de hidrogênio (H):
8\,n_{P} = 2\,n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}} + 2\,n_{\mathrm{H}_{2}}.
Ou, dividindo por 2 para simplificar,
4\,n_{P} = n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}} + n_{\mathrm{H}_{2}}.
Explicação: cada mol de combustível tem 8 átomos H; cada \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} ou \mathrm{H}_{2} carrega 2 átomos H por mol.
  1. Balanço de oxigênio (O) — contar átomos de O:
0{,}42\,n_{A} = 2\,n_{\mathrm{CO}_{2}} + n_{\mathrm{CO}} + n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}}.
Explicação: a esquerda é o total de átomos de O que entram (mols de átomos O); à direita está o consumo em cada espécie produto (CO2 usa 2 O, CO usa 1 O, H2O usa 1 O). Não colocamos O no combustível porque, nesta formulação, assumimos combustível sem O.
  1. Balanço de nitrogênio (N) — nitrogênio passa sem reagir:
n_{\mathrm{N}_{2}} = 0{,}79\,n_{A}.
Explicação: todo o \mathrm{N}_{2} do ar entra e permanece como \mathrm{N}_{2} nos produtos (não há formação de NOx segundo o enunciado).
  1. Equação adicional dada (razão CO/CO2):
n_{\mathrm{CO}} = 0{,}342\,n_{\mathrm{CO}_{2}}.
Essas são as cinco equações independentes solicitadas, envolvendo as cinco incógnitas n_{\mathrm{CO}_{2}},\,n_{\mathrm{CO}},\,n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}},\,n_{\mathrm{H}_{2}},\,n_{\mathrm{N}_{2}}, com parâmetros n_{P} e n_{A}.

Passo 4

Como resolver o sistema em termos gerais (ideia prática e didática):
  • Observação: as equações são lineares nas incógnitas. A equação (5) permite eliminar n_{\mathrm{CO}} diretamente substituindo n_{\mathrm{CO}}=0{,}342\,n_{\mathrm{CO}_{2}}. A equação (4) já fornece n_{\mathrm{N}_{2}} em função de n_{A}. Restam então os balanços de C, H e O para determinar n_{\mathrm{CO}_{2}}, n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}}, n_{\mathrm{H}_{2}}.
  • Método algébrico manual: usar substituição (primeiro elimine n_{\mathrm{CO}} com (5), depois usar (1) para obter n_{\mathrm{CO}_{2}} em função de n_{P}, etc.). Alternativamente montar a matriz do sistema linear e resolver por eliminação de Gauss ou por Cramer (se quiser fórmula fechada).
  • Método numérico/computacional: resolver o sistema linear com um pacote (por exemplo MATLAB, Python/NumPy, ou mesmo uma calculadora com solver linear). Como as equações são simples e lineares, eliminação de Gauss é suficiente e rápida à mão.
Resumo didático: este é um sistema linear, então a técnica padrão é eliminação de Gauss (ou substituição sequencial), que dará solução única desde que as equações sejam compatíveis.

Passo 5

Aplicação numérica para n_{P}=1 mol e n_{A}=30 mol — resolução passo a passo e verificação física.
Começo substituindo a equação (5) na (1):
Da (5):
n_{\mathrm{CO}}=0{,}342\,n_{\mathrm{CO}_{2}}.
Substituir em (1) (balanço de C):
3\cdot 1 = n_{\mathrm{CO}_{2}} + 0{,}342\,n_{\mathrm{CO}_{2}} \quad\Rightarrow\quad 3 = 1{,}342\,n_{\mathrm{CO}_{2}}
\Rightarrow\quad n_{\mathrm{CO}_{2}}=\frac{3}{1{,}342}\approx 2{,}235\\ \text{mol}.
Então
n_{\mathrm{CO}}=0{,}342\cdot 2{,}235\approx 0{,}764\\ \text{mol}.
Agora use o balanço de oxigênio (3). Primeiro calcule o total de átomos O que entram:
0{,}42\,n_{A}=0{,}42\cdot 30=12{,}6\quad\text{(mols de átomos de O)}.á
Os átomos O consumidos por CO2 e CO já são:
2\,n_{\mathrm{CO}_{2}} + n_{\mathrm{CO}} = 2\cdot 2{,}235 + 0{,}764 = 5{,}234\\ \text{(mols de átomos O)}.á
Pela equação (3),
n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}} = 0{,}42\,n_{A} - (2\,n_{\mathrm{CO}_{2}} + n_{\mathrm{CO}}) = 12{,}6 - 5{,}234 = 7{,}366\\ \text{mol}.
Agora balanço de hidrogênio (simplificado):
4\,n_{P} = n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}} + n_{\mathrm{H}_{2}} \quad\Rightarrow\quad 4\cdot 1 = n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}} + n_{\mathrm{H}_{2}}.
Substituindo n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}}=7{,}366 obtemos
n_{\mathrm{H}_{2}} = 4 - 7{,}366 = -3{,}366\\ \text{mol}.
Isto dá um valor negativo para n_{\mathrm{H}_{2}}, o que é fisicamente impossível. Conclusão: as cinco equações (com as cinco incógnitas pedidas) são incompatíveis numericamente para a alimentação dada (n_{P}=1,\\ n_{A}=30) sob a restrição de que os produtos sejam somente \mathrm{CO}_{2},\\ \mathrm{CO},\\ \mathrm{H}_{2}\mathrm{O},\\ \mathrm{H}_{2},\\ \mathrm{N}_{2}. Em linguagem simples: há oxigénio em excesso que não pode ser “consumido” pelas espécies listadas sem violar o balanço de hidrogênio — portanto, é impossível obter solução física sem permitir que parte do oxigénio permaneça como \mathrm{O}_{2} nos produtos.
Comentário físico: para 1 mol de \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8} a combustão completa (apenas \mathrm{CO}_{2} e \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}) precisa de 5 mols de \mathrm{O}_{2}. Com 30 mols de ar temos 0{,}21\cdot 30=6{,}3 mols de \mathrm{O}_{2}, isto é, excesso de ar. Esse excesso, se não for permitido permanecer como \mathrm{O}_{2} nos produtos, gera a inconsistência observada.

Passo 6

Como proceder na prática (resolução útil para o exame): duas opções razoáveis
  • Seguir estritamente o enunciado: relatar que não há solução física (mostrar que n_{\mathrm{H}_{2}}<0) e justificar fisicamente (excesso de O2 que não pode ser alocado entre os produtos listados). Essa é uma resposta correta e honesta se a pergunta exigir apenas trabalhar com as cinco espécies indicadas.
  • Relaxar a restrição e admitir \mathrm{O}_{2} residual nos produtos (procedimento comum em problemas de combustão quando há excesso de ar). Se incluirmos \mathrm{O}_{2} como sexta espécie, o sistema fica consistente e pode-se calcular os mols de todas as espécies (incluindo o \mathrm{O}_{2} residual). Vou fazer essa conta alternativa para fornecer um resultado físico útil.
Cálculo alternativo incluindo \mathrm{O}_{2} residual (denotando n_{\mathrm{O}_{2,\,prod}} o mol de \mathrm{O}_{2} que sobra nos produtos):
  • Moles iniciais de \mathrm{O}_{2}: 0{,}21\cdot 30=6{,}3 mol.
  • Se impedirmos n_{\mathrm{H}_{2}}<0, a solução física mais simples é colocar n_{\mathrm{H}_{2}}=0 (todo H vai para \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}), portanto n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}}=4 mol (pois 8 átomos H => 4 mols de \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}).
  • Mantendo as n_{\mathrm{CO}_{2}} e n_{\mathrm{CO}} determinadas pela razão (e pelo balanço de carbono) obtivemos acima: n_{\mathrm{CO}_{2}}\approx 2{,}235\\ \text{mol},\qquad n_{\mathrm{CO}}\approx 0{,}764\\ \text{mol}.
  • Verificar consumo de \mathrm{O}_{2}: átomos O usados = 2n_{\mathrm{CO}_{2}} + n_{\mathrm{CO}} + n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}} = 2\cdot 2{,}235 + 0{,}764 + 4 = 9{,}234 átomos O (mols de átomos O). Em moléculas de \mathrm{O}_{2} isso é 9{,}234/2 = 4{,}617 mol de \mathrm{O}_{2} consumida.
  • Portanto \mathrm{O}_{2} residual nos produtos: n_{\mathrm{O}_{2,\,prod}} = 6{,}3 - 4{,}617 = 1{,}683\\ \text{mol}.
  • Nitrogênio: n_{\mathrm{N}_{2}}=0{,}79\cdot 30 = 23{,}700\\ \text{mol}.
Resultado alternativo (físico) com \mathrm{O}_{2} permitido nos produtos: n_{\mathrm{CO}_{2}}\approx 2{,}235, n_{\mathrm{CO}}\approx 0{,}764, n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}}=4{,}000, n_{\mathrm{H}_{2}}=0{,}000, n_{\mathrm{N}_{2}}=23{,}700 e n_{\mathrm{O}_{2}}=1{,}683 (todos em mol).

Resposta

a) Sistema de equações:
\begin{cases} 3\,n_{P} = n_{\mathrm{CO}_{2}} + n_{\mathrm{CO}},\\[4pt] 4\,n_{P} = n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}} + n_{\mathrm{H}_{2}},\\[4pt] 0{,}42\,n_{A} = 2\,n_{\mathrm{CO}_{2}} + n_{\mathrm{CO}} + n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}},\\[4pt] n_{\mathrm{N}_{2}} = 0{,}79\,n_{A},\\[4pt] n_{\mathrm{CO}} = 0{,}342\,n_{\mathrm{CO}_{2}}. \end{cases}
b) Método recomendado: resolver o sistema linear por substituição/elimininação (eliminação de Gauss) ou por métodos de álgebra linear (matriz inversa/Cramer) — i.e., resolução de um sistema linear.
c) Para n_{P}=1 e n_{A}=30: não existe solução física consistente com a restrição de que os produtos sejam apenas \mathrm{CO}_{2},\\ \mathrm{CO},\\ \mathrm{H}_{2}\mathrm{O},\\ \mathrm{H}_{2},\\ \mathrm{N}_{2} (a solução formal dá n_{\mathrm{H}_{2}}\approx -3{,}366 mol, impossível). Se for permitido que sobre \mathrm{O}_{2} nos produtos, a composição física é aproximadamente:
n_{\mathrm{CO}_{2}}=2{,}235\\ \text{mol},\quad n_{\mathrm{CO}}=0{,}764\\ \text{mol},\quad n_{\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}}=4{,}000\\ \text{mol},\quad n_{\mathrm{H}_{2}}=0{,}000\\ \text{mol},\quad n_{\mathrm{N}_{2}}=23{,}700\\ \text{mol},
com \;n_{\mathrm{O}_{2,\,prod}}=1{,}683\\ \text{mol} (oxigénio residual).]

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