Qual método você usaria para encontrar a solução do sistema? Resolva e justifique?
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear 7×7 com matriz tridiagonal e pede duas coisas: (a) qual método usar para resolvê‑lo e (b) resolver o sistema e justificar. Vou listar as entradas relevantes da matriz e do vetor lado direito (peguei esses números do enunciado):
superdiagonal \displaystyle c_i (entradas acima da diagonal principal): \displaystyle c_1=2,\\ c_2=1,\\ c_3=1,\\ c_4=2,\\ c_5=4,\\ c_6=1,\\ c_7=0.
O que falta: escolher um método apropriado e obter os valores de \displaystyle x_1,\dots,x_7.]
Passo 2
Escolha do método e justificativa (sem pular explicações):
Observação: a matriz é tridiagonal (cada linha tem no máximo três entradas não nulas: sub, diag, super). Para sistemas tridiagonais existe um algoritmo de eliminação direta muito eficiente chamado algoritmo de Thomas (uma versão especializada de eliminação de Gauss para matrizes tridiagonais).
Vantagens do algoritmo de Thomas:
Complexidade linear \displaystyle O(n) em vez de \displaystyle O(n^3) da eliminação gaussiana genérica.
Pouca memória extra (mantém apenas os vetores \displaystyle a,b,c,d e os vetores modificados).
É exatamente aplicável aqui porque a matriz tem zeros fora da banda tridiagonal e os pivôs \displaystyle b_i calculados durante a eliminação são não nulos (o que será verificado durante o processo).
Conclusão: usar o algoritmo de Thomas (eliminação direta adaptada), e em seguida substituição reversa — é a escolha natural e eficiente.
Passo 3
Apresentação do algoritmo (fórmulas e significado das variáveis), passo a passo didático:
Notação: para i=1,\dots,7 temos os vetores originais \displaystyle a_i,b_i,c_i,d_i definidos em Passo 1.
Objetivo da etapa direta (forward elimination): transformar o sistema numa forma triangular superior\tilde b_i x_i + \tilde c_i x_{i+1} = \tilde d_i,mantendo apenas duas diagonais não nulas por linha, com coeficientes modificados \displaystyle \tilde c_i e \displaystyle \tilde d_i.
Fórmulas do algoritmo (obtidas por eliminar x_{i-1} da linha i usando a linha i-1):\begin{aligned} \tilde c_1 &= \dfrac{c_1}{b_1}, &\tilde d_1 &= \dfrac{d_1}{b_1},\\[6pt] \text{para }i&=2,\dots,7:\quad \text{denom}_i &= b_i - a_i\tilde c_{i-1},\\[4pt] \tilde c_i &= \dfrac{c_i}{\text{denom}_i}, &\tilde d_i &= \dfrac{d_i - a_i\tilde d_{i-1}}{\text{denom}_i}. \end{aligned}Aqui \displaystyle \text{denom}_i é o pivô efetivo na linha i após eliminar a subdiagonal.
Após a etapa direta, faz‑se substituição reversa (back substitution):x_7=\tilde d_7,\qquad x_i=\tilde d_i-\tilde c_i x_{i+1}\quad\text{para }i=6,5,\dots,1.
Observação didática: cada passo usa apenas operações com poucos números; é ideal para fazer à mão com frações. Agora aplico esse procedimento numericamente, mostrando todos os cálculos.]
Valores:x_6=-\dfrac{99}{28}-\left(-\dfrac{6}{7}\right)\left(-\dfrac{65}{8}\right).Calcule o termo: \left(-\dfrac{6}{7}\right)\left(-\dfrac{65}{8}\right)=\dfrac{195}{28}. Assimx_6=-\dfrac{99}{28}-\dfrac{195}{28}=-\dfrac{294}{28}=-\dfrac{147}{14}=-\dfrac{21}{2}.
Passo 13
Substituição reversa: i=5.
Fórmula: x_5=\tilde d_5-\tilde c_5 x_6.
Valores:x_5=-\dfrac{17}{8}-\left(-\dfrac{5}{6}\right)\left(-\dfrac{21}{2}\right).Calcule o termo: \left(-\dfrac{5}{6}\right)\left(-\dfrac{21}{2}\right)=\dfrac{35}{4}. Assimx_5=-\dfrac{17}{8}-\dfrac{35}{4}=-\dfrac{17}{8}-\dfrac{70}{8}=-\dfrac{87}{8}.
Passo 14
Substituição reversa: i=4.
Fórmula: x_4=\tilde d_4-\tilde c_4 x_5.
Valores:x_4=-\dfrac{18}{5}-\left(-\dfrac{3}{5}\right)\left(-\dfrac{87}{8}\right).Calcule o termo: \left(-\dfrac{3}{5}\right)\left(-\dfrac{87}{8}\right)=\dfrac{261}{40}. Assimx_4=-\dfrac{18}{5}-\dfrac{261}{40}=-\dfrac{144}{40}-\dfrac{261}{40}=-\dfrac{405}{40}=-\dfrac{81}{8}.
Passo 15
Substituição reversa: i=3.
Fórmula: x_3=\tilde d_3-\tilde c_3 x_4.
Valores:x_3=-3-\left(-\dfrac{2}{3}\right)\left(-\dfrac{81}{8}\right).Calcule o termo: \left(-\dfrac{2}{3}\right)\left(-\dfrac{81}{8}\right)=\dfrac{27}{4}. Assimx_3=-3-\dfrac{27}{4}=-\dfrac{12}{4}-\dfrac{27}{4}=-\dfrac{39}{4}.
Passo 16
Substituição reversa: i=2.
Fórmula: x_2=\tilde d_2-\tilde c_2 x_3.
Valores:x_2=-\dfrac{3}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{39}{4}\right).Calcule o termo: \left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{39}{4}\right)=\dfrac{39}{8}. Assimx_2=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{39}{8}=-\dfrac{12}{8}-\dfrac{39}{8}=-\dfrac{51}{8}.
Passo 17
Substituição reversa: i=1.
Fórmula: x_1=\tilde d_1-\tilde c_1 x_2.
Valores:x_1=-\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{2}{3}\right)\left(-\dfrac{51}{8}\right).Calcule o termo: \left(-\dfrac{2}{3}\right)\left(-\dfrac{51}{8}\right)=\dfrac{51}{12}=\dfrac{17}{4}. Assimx_1=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{17}{4}=-\dfrac{4}{12}-\dfrac{51}{12}=-\dfrac{55}{12}.