Resolva o sistema linear abaixo:
\left(\begin{array}{rrrrrrr} -3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 3 & -4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 4 & -6 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -6 & 4 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -4 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \\\ x_{5} \\\ x_{6} \\\ x_{7} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right)
Qual método você usaria para encontrar a solução do sistema? Resolva e justifique?

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear 7×7 com matriz tridiagonal e pede duas coisas: (a) qual método usar para resolvê‑lo e (b) resolver o sistema e justificar. Vou listar as entradas relevantes da matriz e do vetor lado direito (peguei esses números do enunciado):
  • Vetor incógnitas: \displaystyle (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7)^\top.
  • Vetor lado direito: \mathbf{d}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\\[2pt]0\\[2pt]3\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • A matriz é tridiagonal; podemos representá‑la por três vetores de coeficientes:
    • subdiagonal \displaystyle a_i (entradas abaixo da diagonal principal):
      \displaystyle a_1=0,\\ a_2=3,\\ a_3=1,\\ a_4=4,\\ a_5=2,\\ a_6=1,\\ a_7=3.
    • diagonal principal \displaystyle b_i:
      \displaystyle b_1=-3,\\ b_2=-4,\\ b_3=-2,\\ b_4=-6,\\ b_5=-6,\\ b_6=-2,\\ b_7=-4.
    • superdiagonal \displaystyle c_i (entradas acima da diagonal principal):
      \displaystyle c_1=2,\\ c_2=1,\\ c_3=1,\\ c_4=2,\\ c_5=4,\\ c_6=1,\\ c_7=0.
O que falta: escolher um método apropriado e obter os valores de \displaystyle x_1,\dots,x_7.]

Passo 2

Escolha do método e justificativa (sem pular explicações):
  • Observação: a matriz é tridiagonal (cada linha tem no máximo três entradas não nulas: sub, diag, super). Para sistemas tridiagonais existe um algoritmo de eliminação direta muito eficiente chamado algoritmo de Thomas (uma versão especializada de eliminação de Gauss para matrizes tridiagonais).
  • Vantagens do algoritmo de Thomas:
    • Complexidade linear \displaystyle O(n) em vez de \displaystyle O(n^3) da eliminação gaussiana genérica.
    • Pouca memória extra (mantém apenas os vetores \displaystyle a,b,c,d e os vetores modificados).
    • É exatamente aplicável aqui porque a matriz tem zeros fora da banda tridiagonal e os pivôs \displaystyle b_i calculados durante a eliminação são não nulos (o que será verificado durante o processo).
  • Conclusão: usar o algoritmo de Thomas (eliminação direta adaptada), e em seguida substituição reversa — é a escolha natural e eficiente.

Passo 3

Apresentação do algoritmo (fórmulas e significado das variáveis), passo a passo didático:
  • Notação: para i=1,\dots,7 temos os vetores originais \displaystyle a_i,b_i,c_i,d_i definidos em Passo 1.
  • Objetivo da etapa direta (forward elimination): transformar o sistema numa forma triangular superior \tilde b_i x_i + \tilde c_i x_{i+1} = \tilde d_i,mantendo apenas duas diagonais não nulas por linha, com coeficientes modificados \displaystyle \tilde c_i e \displaystyle \tilde d_i.
  • Fórmulas do algoritmo (obtidas por eliminar x_{i-1} da linha i usando a linha i-1): \begin{aligned} \tilde c_1 &= \dfrac{c_1}{b_1}, &\tilde d_1 &= \dfrac{d_1}{b_1},\\[6pt] \text{para }i&=2,\dots,7:\quad \text{denom}_i &= b_i - a_i\tilde c_{i-1},\\[4pt] \tilde c_i &= \dfrac{c_i}{\text{denom}_i}, &\tilde d_i &= \dfrac{d_i - a_i\tilde d_{i-1}}{\text{denom}_i}. \end{aligned}Aqui \displaystyle \text{denom}_i é o pivô efetivo na linha i após eliminar a subdiagonal.
  • Após a etapa direta, faz‑se substituição reversa (back substitution): x_7=\tilde d_7,\qquad x_i=\tilde d_i-\tilde c_i x_{i+1}\quad\text{para }i=6,5,\dots,1.
  • Observação didática: cada passo usa apenas operações com poucos números; é ideal para fazer à mão com frações. Agora aplico esse procedimento numericamente, mostrando todos os cálculos.]

Passo 4

Etapa direta: i=1.
  • Dados: \displaystyle b_1=-3,\\ c_1=2,\\ d_1=1.
  • Calcule: \tilde c_1=\dfrac{c_1}{b_1}=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3},\qquad \tilde d_1=\dfrac{d_1}{b_1}=\dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}.

Passo 5

Etapa direta: i=2.
  • Dados: \displaystyle a_2=3,\\ b_2=-4,\\ c_2=1,\\ d_2=2.
  • Pivô: \text{denom}_2=b_2-a_2\tilde c_1=-4-3\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-4+2=-2.
  • Coeficientes modificados: \tilde c_2=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2},\qquad \tilde d_2=\dfrac{2-3\left(-\dfrac{1}{3}\right)}{-2}=\dfrac{2+1}{-2}=-\dfrac{3}{2}.

Passo 6

Etapa direta: i=3.
  • Dados: \displaystyle a_3=1,\\ b_3=-2,\\ c_3=1,\\ d_3=3.
  • Pivô: \text{denom}_3=b_3-a_3\tilde c_2=-2-1\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-2+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}.
  • Coeficientes modificados: \tilde c_3=\dfrac{1}{-\tfrac{3}{2}}=-\dfrac{2}{3},\qquad \tilde d_3=\dfrac{3-1\left(-\tfrac{3}{2}\right)}{-\tfrac{3}{2}}=\dfrac{3+\tfrac{3}{2}}{-\tfrac{3}{2}}=\dfrac{\tfrac{9}{2}}{-\tfrac{3}{2}}=-3.

Passo 7

Etapa direta: i=4.
  • Dados: \displaystyle a_4=4,\\ b_4=-6,\\ c_4=2,\\ d_4=0.
  • Pivô: \text{denom}_4=b_4-a_4\tilde c_3=-6-4\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-6+\dfrac{8}{3}=-\dfrac{10}{3}.
  • Coeficientes modificados: \tilde c_4=\dfrac{2}{-\tfrac{10}{3}}=-\dfrac{3}{5},\qquad \tilde d_4=\dfrac{0-4(-3)}{-\tfrac{10}{3}}=\dfrac{12}{-\tfrac{10}{3}}=12\cdot\left(-\dfrac{3}{10}\right)=-\dfrac{18}{5}.

Passo 8

Etapa direta: i=5.
  • Dados: \displaystyle a_5=2,\\ b_5=-6,\\ c_5=4,\\ d_5=3.
  • Pivô: \text{denom}_5=b_5-a_5\tilde c_4=-6-2\left(-\dfrac{3}{5}\right)=-6+\dfrac{6}{5}=-\dfrac{24}{5}.
  • Coeficientes modificados: \tilde c_5=\dfrac{4}{-\tfrac{24}{5}}=-\dfrac{5}{6},\qquad \tilde d_5=\dfrac{3-2\left(-\tfrac{18}{5}\right)}{-\tfrac{24}{5}} =\dfrac{3+\tfrac{36}{5}}{-\tfrac{24}{5}} =\dfrac{\tfrac{51}{5}}{-\tfrac{24}{5}} =-\dfrac{51}{24}=-\dfrac{17}{8}.

Passo 9

Etapa direta: i=6.
  • Dados: \displaystyle a_6=1,\\ b_6=-2,\\ c_6=1,\\ d_6=2.
  • Pivô: \text{denom}_6=b_6-a_6\tilde c_5=-2-1\left(-\dfrac{5}{6}\right)=-2+\dfrac{5}{6}=-\dfrac{7}{6}.
  • Coeficientes modificados: \tilde c_6=\dfrac{1}{-\tfrac{7}{6}}=-\dfrac{6}{7},\qquad \tilde d_6=\dfrac{2-1\left(-\tfrac{17}{8}\right)}{-\tfrac{7}{6}} =\dfrac{2+\tfrac{17}{8}}{-\tfrac{7}{6}} =\dfrac{\tfrac{33}{8}}{-\tfrac{7}{6}} =\tfrac{33}{8}\cdot\left(-\tfrac{6}{7}\right)=-\dfrac{99}{28}.

Passo 10

Etapa direta: i=7.
  • Dados: \displaystyle a_7=3,\\ b_7=-4,\\ c_7=0,\\ d_7=1.
  • Pivô: \text{denom}_7=b_7-a_7\tilde c_6=-4-3\left(-\dfrac{6}{7}\right)=-4+\dfrac{18}{7}=-\dfrac{10}{7}.
  • Coeficientes modificados: \tilde c_7=\dfrac{0}{-\tfrac{10}{7}}=0,\qquad \tilde d_7=\dfrac{1-3\left(-\tfrac{99}{28}\right)}{-\tfrac{10}{7}} =\dfrac{1+\tfrac{297}{28}}{-\tfrac{10}{7}} =\dfrac{\tfrac{325}{28}}{-\tfrac{10}{7}} =\tfrac{325}{28}\cdot\left(-\tfrac{7}{10}\right)=-\dfrac{65}{8}.

Passo 11

Substituição reversa: calcular x_7,x_6,\dots,x_1.
  • Começa em i=7: x_7=\tilde d_7=-\dfrac{65}{8}.

Passo 12

Substituição reversa: i=6.
  • Fórmula: x_6=\tilde d_6-\tilde c_6 x_7.
  • Valores: x_6=-\dfrac{99}{28}-\left(-\dfrac{6}{7}\right)\left(-\dfrac{65}{8}\right).Calcule o termo: \left(-\dfrac{6}{7}\right)\left(-\dfrac{65}{8}\right)=\dfrac{195}{28}. Assim x_6=-\dfrac{99}{28}-\dfrac{195}{28}=-\dfrac{294}{28}=-\dfrac{147}{14}=-\dfrac{21}{2}.

Passo 13

Substituição reversa: i=5.
  • Fórmula: x_5=\tilde d_5-\tilde c_5 x_6.
  • Valores: x_5=-\dfrac{17}{8}-\left(-\dfrac{5}{6}\right)\left(-\dfrac{21}{2}\right).Calcule o termo: \left(-\dfrac{5}{6}\right)\left(-\dfrac{21}{2}\right)=\dfrac{35}{4}. Assim x_5=-\dfrac{17}{8}-\dfrac{35}{4}=-\dfrac{17}{8}-\dfrac{70}{8}=-\dfrac{87}{8}.

Passo 14

Substituição reversa: i=4.
  • Fórmula: x_4=\tilde d_4-\tilde c_4 x_5.
  • Valores: x_4=-\dfrac{18}{5}-\left(-\dfrac{3}{5}\right)\left(-\dfrac{87}{8}\right).Calcule o termo: \left(-\dfrac{3}{5}\right)\left(-\dfrac{87}{8}\right)=\dfrac{261}{40}. Assim x_4=-\dfrac{18}{5}-\dfrac{261}{40}=-\dfrac{144}{40}-\dfrac{261}{40}=-\dfrac{405}{40}=-\dfrac{81}{8}.

Passo 15

Substituição reversa: i=3.
  • Fórmula: x_3=\tilde d_3-\tilde c_3 x_4.
  • Valores: x_3=-3-\left(-\dfrac{2}{3}\right)\left(-\dfrac{81}{8}\right).Calcule o termo: \left(-\dfrac{2}{3}\right)\left(-\dfrac{81}{8}\right)=\dfrac{27}{4}. Assim x_3=-3-\dfrac{27}{4}=-\dfrac{12}{4}-\dfrac{27}{4}=-\dfrac{39}{4}.

Passo 16

Substituição reversa: i=2.
  • Fórmula: x_2=\tilde d_2-\tilde c_2 x_3.
  • Valores: x_2=-\dfrac{3}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{39}{4}\right).Calcule o termo: \left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{39}{4}\right)=\dfrac{39}{8}. Assim x_2=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{39}{8}=-\dfrac{12}{8}-\dfrac{39}{8}=-\dfrac{51}{8}.

Passo 17

Substituição reversa: i=1.
  • Fórmula: x_1=\tilde d_1-\tilde c_1 x_2.
  • Valores: x_1=-\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{2}{3}\right)\left(-\dfrac{51}{8}\right).Calcule o termo: \left(-\dfrac{2}{3}\right)\left(-\dfrac{51}{8}\right)=\dfrac{51}{12}=\dfrac{17}{4}. Assim x_1=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{17}{4}=-\dfrac{4}{12}-\dfrac{51}{12}=-\dfrac{55}{12}.

Resposta

\displaystyle x_{1}=-\dfrac{55}{12}
\displaystyle x_{2}=-\dfrac{51}{8}
\displaystyle x_{3}=-\dfrac{39}{4}
\displaystyle x_{4}=-\dfrac{81}{8}
\displaystyle x_{5}=-\dfrac{87}{8}
\displaystyle x_{6}=-\dfrac{21}{2}
\displaystyle x_{7}=-\dfrac{65}{8}

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