Em um recipiente cilíndrico, de 10 cm de raio da base e 30 cm de altura, cuja água ocupa metade de sua capacidade, e mergulhado um cubo de 5 cm de aresta, que afunda completamente. Qual a nova altura do nível da água no cilindro?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos um recipiente cilíndrico com raio de 10 cm e altura de 30 cm. Ele está meio cheio de água. Em seguida, um cubo com aresta de 5 cm é totalmente submergido na água. Nosso objetivo é descobrir qual será a nova altura da água no cilindro depois que o cubo for colocado dentro.
Matéria envolvida: Geometria, especificamente cálculo de volumes de sólidos (cilindro e cubo) e o princípio de Arquimedes sobre o deslocamento de líquidos.
O que vamos precisar: Fórmulas para calcular o volume de um cilindro e de um cubo, e entender como o volume do cubo afeta o nível da água no cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume total do cilindro. A fórmula para o volume de um cilindro é:
Vcilindro = pi r^2 h
onde r é o raio da base e h é a altura.
Substituindo os valores:
Vcilindro = pi (10,cm)^2 (30,cm) = pi times 100,cm^2 times 30,cm = 3000pi,cm^3

Passo 3

A água ocupa metade da capacidade do cilindro inicialmente. Então, o volume de água antes de mergulhar o cubo é:
Vágua,inicial = 12 Vcilindro = 12 times 3000pi,cm^3 = 1500pi,cm^3 á

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume do cubo que será submerso na água. A fórmula para o volume de um cubo é:
Vcubo = a^3
onde a é a aresta do cubo.
Substituindo os valores:
Vcubo = (5,cm)^3 = 125,cm^3

Passo 5

Quando o cubo é mergulhado na água, ele desloca um volume de água igual ao seu próprio volume. Então, o volume total de água no cilindro após mergulhar o cubo será:
Vágua,final = Vágua,inicial + Vcubo = 1500pi,cm^3 + 125,cm^3 áá

Passo 6

Agora, queremos encontrar a nova altura da água no cilindro. Sabemos que o volume de água no cilindro é:
Vágua,final = pi r^2 hfinal á
Onde hfinal é a nova altura da água que queremos encontrar.
Substituindo o valor de Vágua,final á:
1500pi,cm^3 + 125,cm^3 = pi (10,cm)^2 hfinal
Simplificando:
1500pi + 125 = 100pi hfinal

Passo 7

Agora, isolamos hfinal :
hfinal = 1500pi + 125100pi
Podemos simplificar dividindo cada termo por 25 :
hfinal = 60pi + 54pi

Passo 8

Vamos calcular numericamente. Usando pi approx 3,1416 :
hfinal = 60 times 3,1416 + 54 times 3,1416 = 188,496 + 512,5664 = 193,49612,5664 approx 15,4,cm

Resposta

A nova altura do nível da água no cilindro será aproximadamente 15,4 cm.

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