Em um recipiente cilíndrico, de 10 cm de raio da base e 30 cm de altura, cuja água ocupa metade de sua capacidade, e mergulhado um cubo de 5 cm de aresta, que afunda completamente. Qual a nova altura do nível da água no cilindro?
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos um recipiente cilíndrico com raio de 10 cm e altura de 30 cm. Ele está meio cheio de água. Em seguida, um cubo com aresta de 5 cm é totalmente submergido na água. Nosso objetivo é descobrir qual será a nova altura da água no cilindro depois que o cubo for colocado dentro.
Matéria envolvida: Geometria, especificamente cálculo de volumes de sólidos (cilindro e cubo) e o princípio de Arquimedes sobre o deslocamento de líquidos.
O que vamos precisar: Fórmulas para calcular o volume de um cilindro e de um cubo, e entender como o volume do cubo afeta o nível da água no cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume total do cilindro. A fórmula para o volume de um cilindro é:
onde
é o raio da base e
é a altura.
Substituindo os valores:
Passo 3
A água ocupa metade da capacidade do cilindro inicialmente. Então, o volume de água antes de mergulhar o cubo é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume do cubo que será submerso na água. A fórmula para o volume de um cubo é:
onde
é a aresta do cubo.
Substituindo os valores:
Passo 5
Quando o cubo é mergulhado na água, ele desloca um volume de água igual ao seu próprio volume. Então, o volume total de água no cilindro após mergulhar o cubo será:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a nova altura da água no cilindro. Sabemos que o volume de água no cilindro é:
Onde
é a nova altura da água que queremos encontrar.
Substituindo o valor de
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Podemos simplificar dividindo cada termo por
:
Passo 8
Vamos calcular numericamente. Usando
:
Resposta
A nova altura do nível da água no cilindro será aproximadamente 15,4 cm.