Calcule
\sum_{\mathrm{j}=0}^{4} j!

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\sum_{j=0}^{4} j!.
Informações dadas: o índice j varia de 0 até 4 e em cada termo aparece j! (o fatorial de j). Não há outras condições ocultas — precisamos apenas conhecer o valor de cada fatorial e somá-los.

Passo 2

O que é fatorial? Vou te explicar bem devagarinho, como se estivéssemos na folha da prova juntos.
Definição: para um inteiro não negativo n\), \[n! = \begin{cases} 1, & \text{se } n=0,\\[4pt] n\cdot (n-1)!, & \text{se } n\ge 1. \end{cases}
Isso significa que cada fatorial é o produto de todos os inteiros positivos de 1\] até \(n. A convenção 0!=1 existe para que as fórmulas recursivas e certas contas com combinações funcionem direitinho — pense também como um “produto vazio” que vale 1.
Exemplos rápidos e intuitivos:
1! = 1,\quad 2! = 2\cdot1 = 2,\quad 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.]

Passo 3

Agora vamos calcular cada termo da soma, aplicando a definição passo a passo.
Calculemos \,0!\,:
0! = 1
(pela convenção).
Calculemos \,1!\,:
1! = 1\cdot 0! = 1\cdot 1 = 1.
Calculemos \,2!\,:
2! = 2\cdot 1! = 2\cdot 1 = 2.
Calculemos \,3!\,:
3! = 3\cdot 2! = 3\cdot 2 = 6.
Calculemos \,4!\,:
4! = 4\cdot 3! = 4\cdot 6 = 24.

Passo 4

Somamos todos os termos obtidos:
\sum_{j=0}^{4} j! = 0! + 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1 + 2 + 6 + 24.
Faço a adição em etapas para não errar:
1+1 = 2,\quad 2+2 = 4,\quad 4+6 = 10,\quad 10+24 = 34.

Passo 5

Resultado final obtido: a soma vale 34. Boa! Você fez certinho seguindo a definição de fatorial e somando termo a termo — é exatamente o que pediriam na prova.

Resposta

34

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