Calcule
para
e para
e perceba que as somas são as potências
e
.
para
e para
e perceba que as somas são as potências
Passo 1
O enunciado pede para calcular as somas
para
e para
, e observar que esses resultados coincidem com
e
. As informações dadas são apenas os valores de
(
e
) e a soma dos coeficientes binomiais
para
de
a
.
Passo 2
Primeiro lembrete básico: o símbolo
significa coeficiente binomial. Uma notação equivalente é
. A definição por fatoriais é
onde
(fatorial de
) é o produto
. Essa fórmula dá o número de maneiras distintas de escolher
elementos entre
sem ordem. Vou usar essa definição para calcular termo a termo quando for útil.
Passo 3
Calculemos a soma para
. Escrevendo todos os termos:
Agora cada termo (usando
para clareza):
Somando:
Observação numérica:
. Então, para
a soma é
, que coincide com
.
Passo 4
Agora para
. Escrevendo os termos:
Calculemos cada termo (usando formas simplificadas quando possível):
Somando:
Observação numérica:
. Então, para
a soma é
, que coincide com
.
Passo 5
Uma explicação geral (bem útil para a prova) é dada pelo Teorema do Binômio. Ele diz que, para quaisquer números
e
,
Se escolhermos
e
, obtemos
Como
, isso prova que, para qualquer
,
Isso explica por que os casos
e
deram
e
respectivamente.
Passo 6
Resumo prático e um empurrãozinho para a prova: calcular termo a termo funciona bem quando
é pequeno (como
ou
). Mas a maneira mais rápida e elegante é lembrar o passo do Binômio e já saber que a soma dos coeficientes binomiais é
. Força aí — você já viu o cálculo explícito e a prova geral!