Calcule
\sum_{r=0}^{n} C_{n, r}
para
\mathrm{n}=4
e para
\mathrm{n}=6
e perceba que as somas são as potências
2^{4}
e
2^{6}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as somas
\sum_{r=0}^{n} C_{n,r}
para n=4 e para n=6, e observar que esses resultados coincidem com 2^{4} e 2^{6}. As informações dadas são apenas os valores de n ( 4 e 6) e a soma dos coeficientes binomiais C_{n,r} para r de 0 a n.

Passo 2

Primeiro lembrete básico: o símbolo C_{n,r} significa coeficiente binomial. Uma notação equivalente é \binom{n}{r}. A definição por fatoriais é
\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!},
onde n! (fatorial de n) é o produto n!=n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot2\cdot1. Essa fórmula dá o número de maneiras distintas de escolher r elementos entre n sem ordem. Vou usar essa definição para calcular termo a termo quando for útil.

Passo 3

Calculemos a soma para n=4. Escrevendo todos os termos:
\sum_{r=0}^{4} C_{4,r}=C_{4,0}+C_{4,1}+C_{4,2}+C_{4,3}+C_{4,4}.
Agora cada termo (usando \binom{4}{r} para clareza):
\binom{4}{0}=1, \qquad \binom{4}{1}=4, \qquad \binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{2\cdot2}=6,
\binom{4}{3}=\binom{4}{1}=4, \qquad \binom{4}{4}=1.
Somando:
1+4+6+4+1=16.
Observação numérica: 16=2^{4}. Então, para n=4 a soma é 16, que coincide com 2^{4}.

Passo 4

Agora para n=6. Escrevendo os termos:
\sum_{r=0}^{6} C_{6,r}=C_{6,0}+C_{6,1}+C_{6,2}+C_{6,3}+C_{6,4}+C_{6,5}+C_{6,6}.
Calculemos cada termo (usando formas simplificadas quando possível):
\binom{6}{0}=1, \qquad \binom{6}{1}=6,
\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15, \qquad \binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20,
\binom{6}{4}=\binom{6}{2}=15, \qquad \binom{6}{5}=\binom{6}{1}=6, \qquad \binom{6}{6}=1.
Somando:
1+6+15+20+15+6+1=64.
Observação numérica: 64=2^{6}. Então, para n=6 a soma é 64, que coincide com 2^{6}.

Passo 5

Uma explicação geral (bem útil para a prova) é dada pelo Teorema do Binômio. Ele diz que, para quaisquer números x e y,
(x+y)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}x^{\,n-r}y^{\,r}.
Se escolhermos x=1 e y=1, obtemos
(1+1)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}1^{\,n-r}1^{\,r}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}.
Como (1+1)^{n}=2^{n}, isso prova que, para qualquer n,
\sum_{r=0}^{n}C_{n,r}=2^{n}.
Isso explica por que os casos n=4 e n=6 deram 2^{4} e 2^{6} respectivamente.

Passo 6

Resumo prático e um empurrãozinho para a prova: calcular termo a termo funciona bem quando n é pequeno (como 4 ou 6). Mas a maneira mais rápida e elegante é lembrar o passo do Binômio e já saber que a soma dos coeficientes binomiais é 2^{n}. Força aí — você já viu o cálculo explícito e a prova geral!

Resposta

\sum_{r=0}^{4} C_{4,r}=16=2^{4}\n
\sum_{r=0}^{6} C_{6,r}=64=2^{6}

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