A urna A tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna B tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna C tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao acaso. Qual a probabilidade da bola ser:
branca?

Passo 1

O enunciado dá as composições das urnas e pergunta a probabilidade de sair uma bola branca. Informações fornecidas:
  • Urna A: 3 bolas vermelhas e 4 brancas.
  • Urna B: 2 bolas vermelhas e 6 brancas.
  • Urna C: 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas.
  • Uma urna é selecionada ao acaso (todas igualmente prováveis) e, em seguida, é extraída uma bola ao acaso dessa urna.
  • Pergunta: qual a probabilidade da bola ser branca?

Passo 2

Modelagem e probabilidades condicionais — o que significa cada peça:
  • Como a urna é escolhida ao acaso entre A,B,C e são três urnas, a probabilidade de escolher cada urna é
P(\text{urna }A)=P(\text{urna }B)=P(\text{urna }C)=\frac{1}{3}.
  • Quando uma urna é escolhida, a probabilidade de tirar uma branca dessa urna é a fração de bolas brancas nessa urna, ou seja:
P(\text{branca}\mid\text{urna }A)=\frac{4}{3+4}=\frac{4}{7},
P(\text{branca}\mid\text{urna }B)=\frac{6}{2+6}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4},
P(\text{branca}\mid\text{urna }C)=\frac{2}{5+2+3}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.

Passo 3

Usar a Lei da Probabilidade Total: a probabilidade de sair branca é a soma, sobre as urnas, da probabilidade de escolher a urna vezes a probabilidade de branca dada essa urna. Em fórmula:
P(\text{branca})=P(\text{urna }A)P(\text{branca}\mid\text{urna }A)+P(\text{urna }B)P(\text{branca}\mid\text{urna }B)+P(\text{urna }C)P(\text{branca}\mid\text{urna }C).
Substituindo os valores que calculamos:
P(\text{branca})=\frac{1}{3}\Big(\frac{4}{7}+\frac{3}{4}+\frac{1}{5}\Big).

Passo 4

Calcular a soma dentro do parêntese com cuidado (de modo que dê para fazer à mão):
  • Primeiro, calcular \dfrac{4}{7}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{5}. Um denominador comum conveniente é 140 (pois 140=7\cdot4\cdot5).
\frac{4}{7}=\frac{80}{140},\qquad \frac{3}{4}=\frac{105}{140},\qquad \frac{1}{5}=\frac{28}{140}.
Somando:
\frac{80}{140}+\frac{105}{140}+\frac{28}{140}=\frac{213}{140}.
  • Agora multiplicar por \dfrac{1}{3}:
P(\text{branca})=\frac{1}{3}\cdot\frac{213}{140}=\frac{213}{420}.
  • Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{213}{420}=\frac{71}{140}.
  • Valor aproximado (para intuição):
\frac{71}{140}\approx0{,}50714.

Passo 5

Interpretação rápida e dica para prova: pense sequencialmente — escolher urna (probabilidade) e depois tirar a bola (probabilidade condicional). Multiplica-se essas probabilidades para cada urna e soma-se tudo. Isso evita confusões e funciona sempre que há escolha prévia de uma “caixa”/urna antes do experimento.

Resposta

\dfrac{71}{140}\approx0{,}50714

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