Quantos anagramas da palavra FILTRO começam por consoante?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que ele pede.
- A palavra é “FILTRO”, ou seja, as letras são
. - Todas as letras são distintas (não há repetições).
- Consoantes presentes:
— total de consoantes. - Vogais presentes:
— total de vogais. - O que o problema pede: contar quantos anagramas (ou seja, permutações das 6 letras) da palavra “FILTRO” começam por uma consoante.
Passo 2
Qual método vamos usar? Vou aplicar a regra do produto (contagem por etapas): primeiro escolho a letra que vai na primeira posição e depois conto as maneiras de arranjar o resto. Explicando a regra do produto de forma bem direta:
- Se uma escolha A pode ser feita de
maneiras e, para cada escolha de A, uma escolha B pode ser feita de maneiras, então o par de escolhas pode ser feito de maneiras no total.
Exemplo simples e rápido: se há
camisas e
calças, então há
combinações de roupa. Aqui usamos exatamente a mesma ideia em posições da palavra.
Passo 3
Vou explicar o conceito de fatorial e permutações, que é a ferramenta que precisamos.
- Definição de fatorial: para um número natural
,
- Interpretação combinatória: o número de maneiras de ordenar (permutar)
objetos distintos é exatamente .
Exemplo concreto: para as letras
(três letras distintas), o número de anagramas é
. Esses 6 são:
.
Passo 4
Aplicando ao problema passo a passo:
-
Para a primeira posição da palavra (a posição inicial), queremos que seja uma consoante. Como há
consoantes ( ), há escolhas possíveis para a primeira letra. -
Depois de escolher a primeira letra, restam
letras (as demais) para preencher as 5 posições restantes. O número de maneiras de ordenar essas letras é . -
Pela regra do produto, o número total de anagramas que começam por consoante é
- Calculo de
:
Portanto a expressão que obtivemos é
. (O produto final ficará na resposta.)
Passo 5
Confirmação por método alternativo (complemento), só para você ver outra forma de raciocinar:
- Total de anagramas de
letras distintas: . E
- Número de anagramas que começam por vogal: há
vogais possíveis para a primeira posição e, depois, formas de arranjar o resto; isso é . - Logo, pelo complemento, o número que começam por consoante é
Note que essa expressão é equivalente a
, então os dois métodos concordam.