Quantos anagramas da palavra FILTRO começam por consoante?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • A palavra é “FILTRO”, ou seja, as letras são F, I, L, T, R, O.
  • Todas as letras são distintas (não há repetições).
  • Consoantes presentes: F, L, T, R — total de 4 consoantes.
  • Vogais presentes: I, O — total de 2 vogais.
  • O que o problema pede: contar quantos anagramas (ou seja, permutações das 6 letras) da palavra “FILTRO” começam por uma consoante.

Passo 2

Qual método vamos usar? Vou aplicar a regra do produto (contagem por etapas): primeiro escolho a letra que vai na primeira posição e depois conto as maneiras de arranjar o resto. Explicando a regra do produto de forma bem direta:
  • Se uma escolha A pode ser feita de m maneiras e, para cada escolha de A, uma escolha B pode ser feita de n maneiras, então o par de escolhas (A,B) pode ser feito de m\cdot n maneiras no total.
Exemplo simples e rápido: se há 3 camisas e 2 calças, então há 3\cdot 2 combinações de roupa. Aqui usamos exatamente a mesma ideia em posições da palavra.

Passo 3

Vou explicar o conceito de fatorial e permutações, que é a ferramenta que precisamos.
  • Definição de fatorial: para um número natural n,
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
  • Interpretação combinatória: o número de maneiras de ordenar (permutar) n objetos distintos é exatamente n!.
Exemplo concreto: para as letras A,B,C (três letras distintas), o número de anagramas é 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6. Esses 6 são: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Passo 4

Aplicando ao problema passo a passo:
  1. Para a primeira posição da palavra (a posição inicial), queremos que seja uma consoante. Como há 4 consoantes ( F,L,T,R), há 4 escolhas possíveis para a primeira letra.
  2. Depois de escolher a primeira letra, restam 5 letras (as demais) para preencher as 5 posições restantes. O número de maneiras de ordenar essas 5 letras é 5!.
  3. Pela regra do produto, o número total de anagramas que começam por consoante é
4 \cdot 5!.
  1. Calculo de 5!:
5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120.
Portanto a expressão que obtivemos é 4\cdot 5! = 4\cdot 120. (O produto final ficará na resposta.)

Passo 5

Confirmação por método alternativo (complemento), só para você ver outra forma de raciocinar:
  • Total de anagramas de 6 letras distintas: 6!. E
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720.
  • Número de anagramas que começam por vogal: há 2 vogais possíveis para a primeira posição e, depois, 5! formas de arranjar o resto; isso é 2\cdot 5! = 2\cdot 120.
  • Logo, pelo complemento, o número que começam por consoante é
6! - 2\cdot 5!.
Note que essa expressão é equivalente a 4\cdot 5!, então os dois métodos concordam.

Resposta

480

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