Obter a série de Fourier das seguintes funções:
, com
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier da função periódica de período 2 definida por f(x)=x em [-1,1]. Vamos usar que f é função ímpar, então só teremos termos senoidais na expansão.
Passo 2
Como f é ímpar, seu termo de média a₀=0 e todos os coeficientes cossenoidais aₙ=0.
Passo 3
O coeficiente senoidal geral é dado por
com L=1.
Pela paridade de x·sin(nπx) (ímpar·ímpar=par), podemos escrever
Passo 4
Para calcular
, usamos integração por partes: escolha
e
. Então
e
.
Aplicando a fórmula de integração por partes obtemos
Aplicando a fórmula de integração por partes obtemos
Como
Passo 5
Logo
Passo 6
Portanto a série de Fourier fica: