Obter a série de Fourier das seguintes funções:
f(x)=x, com x in[-1,1] ; f(x+2)=f(x)

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função periódica de período 2 definida por f(x)=x em [-1,1]. Vamos usar que f é função ímpar, então só teremos termos senoidais na expansão.

Passo 2

Como f é ímpar, seu termo de média a₀=0 e todos os coeficientes cossenoidais aₙ=0.

Passo 3

O coeficiente senoidal geral é dado por
bn=1Lintegral-L^Lf(x)sinl(npi xLr),dx
com L=1.
Pela paridade de x·sin(nπx) (ímpar·ímpar=par), podemos escrever
bn=2integral0^1xsin(npi x),dx.

Passo 4

Para calcular integral0^1xsin(npi x),dx, usamos integração por partes: escolha u=x e dv=sin(npi x)dx. Então du=dx e v=-cos(npi x)npi.
Aplicando a fórmula de integração por partes obtemos
integral0^1xsin(npi x),dx=-xcos(npi x)npi|0^1+1npiintegral0^1cos(npi x),dx
Como sin(npi)=0, fica
integral0^1xsin(npi x),dx=-(-1)^nnpi

Passo 5

Logo
bn=2l(-(-1)^nnpir)=2(-1)^n+1npi

Passo 6

Portanto a série de Fourier fica:

Resposta

f(x)=sumn=1^infty2(-1)^n+1npisin(npi x)

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