Calcule sumk=0^n k C(n, k) 3^k.

Passo 1

Primeiro, entendi o que o enunciado pede: calcular a soma sumk=0^n k binomnk 3^k. O conteúdo aqui é Teorema Binomial e um truque de derivada para lidar com o fator k.

Passo 2

Vamos usar a função geradora f(x) = sumk=0^n binomnk x^k. Pelo Teorema Binomial temos:
f(x) = (1+x)^n

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado da soma:
ddxsumk=0^n binomnk x^k = sumk=0^n k binomnk x^k-1
E no lado da forma fechada:
ddx(1+x)^n = n (1+x)^n-1

Passo 4

Para voltar ao formato da soma original, multiplicamos por x:
x sumk=0^n k binomnk x^k-1 = sumk=0^n k binomnk x^k = n x (1+x)^n-1

Passo 5

Por fim, basta substituir x=3:
sumk=0^n k binomnk 3^k = n cdot 3 cdot (1+3)^n-1 = 3n cdot 4^n-1

Resposta

3n cdot 4^n-1

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