Use o princípio da inclusão e exclusão para calcular quantos números não-negativos, menores do que 1.000 .000 , contêm os dígitos 1,2 e 3 ?
Passo 1
O enunciado quer saber quantos números de 0 a 999 999 contêm os dígitos 1, 2 e 3 pelo menos uma vez. É um problema de contagem usando o princípio da inclusão e exclusão. Para facilitar, vamos tratar cada número como uma sequência de 6 dígitos (usando zeros à esquerda).
Passo 2
Vamos definir os conjuntos: A = números sem o dígito 1, B = números sem o dígito 2 e C = números sem o dígito 3. Pelo princípio da inclusão e exclusão, a quantidade de sequências que contêm 1, 2 e 3 é dado por:
Passo 3
Passo 4
Para calcular |A|, notamos que cada dígito pode ser qualquer um dos 9 restantes (excluindo o 1), então
. O mesmo vale para
e
.
Passo 5
Para as intersecções de dois conjuntos, como
(sem 1 e sem 2), cada dígito tem 8 opções, logo
. O mesmo para
e
.
Passo 6
Para a interseção dos três conjuntos
(sem 1, sem 2 e sem 3), cada dígito tem 7 opções, então
.
Passo 7
Substituindo na fórmula principal, obtemos:
Passo 8
Passo 9
Agora vamos calcular cada potência:
,
,
e
.
Passo 10
Fazendo as contas passo a passo: 1000000 - 3·531441 = -594323; depois -594323 + 3·262144 = 192109; por fim 192109 - 117649 = 74460.