Use o princípio da inclusão e exclusão para calcular quantos números não-negativos, menores do que 1.000 .000 , contêm os dígitos 1,2 e 3 ?

Passo 1

O enunciado quer saber quantos números de 0 a 999 999 contêm os dígitos 1, 2 e 3 pelo menos uma vez. É um problema de contagem usando o princípio da inclusão e exclusão. Para facilitar, vamos tratar cada número como uma sequência de 6 dígitos (usando zeros à esquerda).

Passo 2

Vamos definir os conjuntos: A = números sem o dígito 1, B = números sem o dígito 2 e C = números sem o dígito 3. Pelo princípio da inclusão e exclusão, a quantidade de sequências que contêm 1, 2 e 3 é dado por:

Passo 3

10^6 - (|A| + |B| + |C|) + (|A cap B| + |A cap C| + |B cap C|) - |A cap B cap C|

Passo 4

Para calcular |A|, notamos que cada dígito pode ser qualquer um dos 9 restantes (excluindo o 1), então |A| = 9^6. O mesmo vale para |B| = 9^6 e |C| = 9^6.

Passo 5

Para as intersecções de dois conjuntos, como A cap B (sem 1 e sem 2), cada dígito tem 8 opções, logo |A cap B| = 8^6. O mesmo para |A cap C| = 8^6 e |B cap C| = 8^6.

Passo 6

Para a interseção dos três conjuntos A cap B cap C (sem 1, sem 2 e sem 3), cada dígito tem 7 opções, então |A cap B cap C| = 7^6.

Passo 7

Substituindo na fórmula principal, obtemos:

Passo 8

10^6 - 3cdot9^6 + 3cdot8^6 - 7^6

Passo 9

Agora vamos calcular cada potência: 10^6 = 1000000, 9^6 = 531441, 8^6 = 262144 e 7^6 = 117649.

Passo 10

Fazendo as contas passo a passo: 1000000 - 3·531441 = -594323; depois -594323 + 3·262144 = 192109; por fim 192109 - 117649 = 74460.

Resposta

74460

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