De quantos modos podemos colocar em fila 7 letras A, 6 letras B e 5 letras C de modo que não haja duas letras B juntas?

Passo 1

O enunciado é: temos 7 letras A idênticas, 6 letras B idênticas e 5 letras C idênticas. Queremos contar de quantas formas podemos dispor essas 18 letras em fila sem que existam duas B juntas. O conteúdo da matéria é permutações com repetição e técnica de inserção em lacunas.

Passo 2

Primeiro, a gente esquece as B e arranja só as 7 letras A e as 5 letras C. Como são objetos repetidos, o número de arranjos é dado por 12!7!5!.

Passo 3

Esses 12 símbolos (A e C) criam lacunas ao redor e entre eles. O total de lacunas é 13 (uma antes do primeiro, uma depois do último e 11 entre eles). Para não ter duas B juntas, colocamos no máximo uma B em cada lacuna e precisamos escolher 6 dessas lacunas, o que dá binom136.

Passo 4

Aplicando o princípio multiplicativo, o total de arranjos válidos é

Passo 5

Passo 6

\frac{12!}{7!5!}\times\binom{13}{6}

Passo 7

]

Passo 8

Calculando: 12!7!5!=binom127=792 e binom136=1716, e o produto é 1 359 072.

Resposta

1,359,072

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