De quantos modos podemos colocar em fila 7 letras
letras
e 5 letras
de modo que não haja duas letras
juntas?
Passo 1
O enunciado é: temos 7 letras A idênticas, 6 letras B idênticas e 5 letras C idênticas. Queremos contar de quantas formas podemos dispor essas 18 letras em fila sem que existam duas B juntas. O conteúdo da matéria é permutações com repetição e técnica de inserção em lacunas.
Passo 2
Primeiro, a gente esquece as B e arranja só as 7 letras A e as 5 letras C. Como são objetos repetidos, o número de arranjos é dado por
.
Passo 3
Esses 12 símbolos (A e C) criam lacunas ao redor e entre eles. O total de lacunas é 13 (uma antes do primeiro, uma depois do último e 11 entre eles). Para não ter duas B juntas, colocamos no máximo uma B em cada lacuna e precisamos escolher 6 dessas lacunas, o que dá
.
Passo 4
Aplicando o princípio multiplicativo, o total de arranjos válidos é
Passo 5
Passo 6
\frac{12!}{7!5!}\times\binom{13}{6}
Passo 7
]
Passo 8
Calculando:
e
, e o produto é 1 359 072.