integralegral duplaR(x sen y-y sen x) d A;
R=(x, y): 0 <= x <= pi / 2,0 <= y <= pi / 3

Passo 1

Resumimos o enunciado: calcular
integral duplaR(xsin y - ysin x),dA
no retângulo
R=(x,y)mid 0<= x<= tfracpi2,,0<= y<= tfracpi3.
Vamos usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem e separar integrais.

Passo 2

Aplicar o Teorema de Fubini para separar o integrando
integral duplaR(xsin y - ysin x),dA = integral duplaRxsin y,dA - integral duplaRysin x,dA

Passo 3

Calcular integral duplaRxsin y,dA separando em produto de integrais
integral duplaRxsin y,dA = integral0^pi2x,dx ;times; integral0^pi3sin y,dy
integral0^pi3sin y,dy = l[-cos yr]0^pi3 = 1 - tfrac12 = tfrac12
integral0^pi2x,dx = l[tfracx^22r]0^pi2 = tfracpi^28
Portanto
integral duplaRxsin y,dA = tfrac12 times tfracpi^28 = tfracpi^216

Passo 4

Calcular integral duplaRysin x,dA de forma análoga
integral duplaRysin x,dA = integral0^pi2sin x,dx ;times; integral0^pi3y,dy
integral0^pi2sin x,dx = l[-cos xr]0^pi2 = 1
integral0^pi3y,dy = l[tfracy^22r]0^pi3 = tfracpi^218
Logo
integral duplaRysin x,dA = 1 times tfracpi^218 = tfracpi^218

Passo 5

Subtrair os dois resultados
integral duplaR(xsin y - ysin x),dA = tfracpi^216 - tfracpi^218 = pi^2l(tfrac116-tfrac118r) = tfracpi^2144

Resposta

tfracpi^2144

Exercícios relacionados