Use o exercício anterior para calcular a transformada de Laplace de f(t), onde f é periódica de período 2 e
f(t)= 1 & , se 0 <= t<1 -1 & , se 1 <= t<2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função f(t) periódica de período T=2, definida por
f(t)= 1,&0<= t<1, -1,&1<= t<2,
e estendida periodicamente.
Conteúdo: transformada de Laplace de funções periódicas. Fórmula chave:
Lf(s) =11-e^-sT integral0^Tf(t)e^-st,dt

Passo 2

Calcular a integral no numerador
I =integral0^2f(t)e^-st,dt =integral0^11cdot e^-st,dt +integral1^2(-1)cdot e^-st,dt

Passo 3

Avaliar cada parte:
integral0^1e^-st,dt =l[-tfrac1se^-str]0^1 =1-e^-ss,
integral1^2e^-st,dt =l[-tfrac1se^-str]1^2 =e^-s-e^-2ss
Portanto
I =1-e^-ss -e^-s-e^-2ss =1-2e^-s+e^-2ss =(1-e^-s)^2s

Passo 4

Aplicar a fórmula da transformada de Laplace periódica:
Lf(s) =11-e^-2s;I =11-e^-2s;(1-e^-s)^2s

Passo 5

Simplificar usando 1-e^-2s=(1-e^-s)(1+e^-s):
Lf(s) =1s,(1-e^-s)^2(1-e^-s)(1+e^-s) =1s,1-e^-s1+e^-s =1stanh!l(tfracs2r)

Resposta

boxedLf(s) =1-e^-ss,(1+e^-s) =1s,tanh!l(tfracs2r)

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