Exercício 4. Determine as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v, utilizando a regra da cadeia.
z=x^2+y^2, x=u+1, y=u v

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v da função
z = x^2 + y^2
onde as variáveis x e y estão dadas em função de u e v por
x = u + 1, y = u,v
O que vamos usar é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro determinamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como
z = x^2 + y^2,
temos
partial zpartial x = 2x, partial zpartial y = 2y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a u e v.
Como x = u+1 e y = u,v,
partial xpartial u = 1, partial xpartial v = 0,
partial ypartial u = v, partial ypartial v = u

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial u:
partial zpartial u = partial zpartial x,partial xpartial u + partial zpartial y,partial ypartial u
Substituindo os valores obtidos,
partial zpartial u = (2x)cdot(1) + (2y)cdot(v) = 2x + 2yv
Como x = u+1 e y = u,v, isso fica
partial zpartial u = 2(u+1) + 2(u,v),v = 2(u+1) + 2u,v^2

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial v:
partial zpartial v = partial zpartial x,partial xpartial v + partial zpartial y,partial ypartial v
Substituindo,
partial zpartial v = (2x)cdot(0) + (2y)cdot(u) = 0 + 2y,u
Como y = u,v, temos
partial zpartial v = 2(u,v),u = 2u^2v

Resposta

partial zpartial u = 2(u+1) + 2u,v^2, partial zpartial v = 2u^2v

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