Calcule A^2, A^3, A^4 e também A v, A^2 v, A^3 v, A^4 v para
A=[llll 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 ], v=[c x y z t ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular as potências , , de
e também as imagens dessas potências aplicadas a
Aqui usamos multiplicação de matrizes (para obter ) e depois produto matriz–vetor (para ). Note que é nilpotente de ordem .

Passo 2

Para achar A^2 fazemos A^2 = Acdot A. Observamos que
(A^2)1,3=A1,2A2,3=2cdot2=4, (A^2)2,4=A2,3A3,4=2cdot2=4,
e todos os outros elementos são zero. Logo,
A^2= 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Em seguida
A^3 = A^2cdot A
tem único não nulo
(A^3)1,4=(A^2)1,3A3,4=4cdot2=8,
logo
A^3= 0 & 0 & 0 & 8 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Como A só “move” componentes até o índice +3, temos
A^4 = A^3cdot A = 04times4

Passo 3

Agora aplicamos essas potências ao vetor .
.
.
.
.

Resposta

A^2= 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 , A^3= 0 & 0 & 0 & 8 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 , A^4=04times4
Av=2y2z2t0, A^2v=4z4t00, A^3v=8t000, A^4v=0000

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